**Theorem 2.** *Assume that:*

*(1) rankB*(*n*) 0 ⊗ *C*(*n*)*<sup>T</sup>* = *rankB*(*n*) 0 ⊗ *C*(*n*)*<sup>T</sup>* , *A*(*n*) *f* − *A*<sup>0</sup>(*n*) *so that A*<sup>0</sup>(*n*) + *B*(*n*) 0 *K*(*n*) 0 *C*(*n*) = *A*(*n*) *f is solvable in K*(*n*) 0 *for some convergent matrix A*(*n*) *f of appropriate order;* ∀*n* ∈ *<sup>Z</sup>*0+*,rankB*<sup>ˆ</sup>(*n*) 0 ⊗ *C*(*n*)*<sup>T</sup>* = *rankB*<sup>ˆ</sup>(*n*) 0 ⊗ *C*(*n*)*<sup>T</sup>* , *A*ˆ *a*(*n*+<sup>1</sup>) *f* − *A*ˆ (*n*+<sup>1</sup>) *so that A*ˆ (*n*+<sup>1</sup>) + *B*<sup>ˆ</sup>(*n*) 0 *K*ˆ (*n*) 0 *C*(*n*) = *A*ˆ *a*(*n*+<sup>1</sup>) *f is solvable in K*ˆ *a*(*n*) 0 *for some matrix A* ˆ *a*(*n*+<sup>1</sup>) *f of appropriate order;* ∀*n* ∈ *<sup>Z</sup>*0+*,rankB*<sup>ˆ</sup>(*n*) 0 ⊗ *C*ˆ (*n*)*<sup>T</sup>* = *rankB*<sup>ˆ</sup>(*n*) 0 ⊗ *C*ˆ (*n*)*<sup>T</sup>* , *A*ˆ (*n*+<sup>1</sup>) *f* − *D*ˆ (*n*) − *D*ˆ (*n*) *so that A* ˆ (*n*) *f* = *D* ˆ (*n*) + *D* ˆ (*n*) + *B* ˆ(*n*) 0 *K* ˆ (*n*) 0 *C* ˆ (*n*) *is solvable in K*ˆ (*n*) 0 *for some matrix A*ˆ (*n*) *f of appropriate order;* ∀*n* ∈ *Z*0+*, (2) and that subsequent rank conditions hold:*

$$\begin{aligned} \operatorname{rank} \Big( \mathcal{B}\_0^{(n)} \otimes \mathcal{C}^{(n-i)^T} \Big) &= \operatorname{rank} \Big( \mathcal{B}\_0^{(n)} \otimes \mathcal{C}^{(n-i)^T}, \mathcal{B}\_i^{(n)} \mathcal{C}^{(n-i)} \Big) \\\ \operatorname{rank} \Big( \mathcal{B}\_0^{(n)} \otimes \mathcal{C}^{(n-i)^T} \Big) &= \operatorname{rank} \Big( \mathcal{B}\_0^{(n)} \otimes \mathcal{C}^{(n-i)^T}, \mathcal{B}\_i^{(n)} \mathcal{C}^{(n-i)} \Big) \\\ \operatorname{rank} \Big( \mathcal{B}\_0^{(n)} \otimes \mathcal{C}^{(n-i)^T} \Big) &= \operatorname{rank} \Big( \mathcal{B}\_0^{(n)} \otimes \mathcal{C}^{(n-i)^T}, \mathcal{B}\_i^{a(n)} \mathcal{C}^{(n-i)} \Big) \end{aligned}$$

∀*i* ∈ *r so that the following matrix equations are solvable in the delayed controller gains K*(*n*) *i, K*<sup>ˆ</sup>(*n*) *iand K*ˆ *a*(*n*) *i*:

$$\begin{aligned} \mathcal{B}\_0^{(n)} \mathcal{K}\_i^{(n)} \mathcal{C}^{(n-i)} &= -\mathcal{B}\_i^{(n)} \mathcal{C}^{(n-i)} ; \mathcal{B}\_0^{(n)} \mathcal{K}\_i^{(n)} \mathcal{C}^{(n-i)} = -\mathcal{B}\_i^{(n)} \hat{\mathcal{C}}^{(n-i)}; \\ \mathcal{B}\_0^{(n)} \mathcal{K}\_i^{a(n)} \mathcal{C}^{(n-i)} &= -\mathcal{B}\_i^{(n)} \mathcal{C}^{(n-i)}; \forall i \in \mathsf{F}; \forall n \in \mathsf{Z}\_{0+}. \end{aligned}$$

*Then, the matrix equations*

$$\begin{aligned} A^{0(n)} + B\_0^{(n)} K\_0^{(n)} \mathcal{C}^{(n)} &= A\_f^{(n)}, \; \hat{A}^{(n+1)} + \hat{B}\_0^{(n)} \hat{K}\_0^{a(n)} \mathcal{C}^{(n)} = \hat{A}\_f^{a(n+1)},\\ A\_f^{(n)} &= \mathcal{D}^{(n)} + \overleftarrow{\mathcal{D}}^{(n)} + \mathcal{B}\_0^{(n)} \mathcal{K}\_0^{(n)} \mathcal{C}^{(n)}, \; B\_0^{(n)} K\_i^{(n)} \mathcal{C}^{(n-i)} = -B\_i^{(n)} \mathcal{C}^{(n-i)};\\ \mathcal{B}\_0^{(n)} \mathcal{K}\_i^{(n)} \mathcal{C}^{(n-i)} &= -\mathcal{B}\_i^{(n)} \mathcal{C}^{(n-i)}; \; \forall i \in \mathbb{F}; \; \forall n \in \mathbb{Z}\_{0+}) \end{aligned} \tag{41}$$

*are solvable in the controller gains K*(*n*) 0 *, K*(*n*) *i and K*<sup>ˆ</sup>(*n*) *i ;* ∀*i* ∈ *r;* ∀*n* ∈ **Z**0+ *leading to the solutions*

*vecK*(*n*) 0 = *B*(*n*) 0 ⊗ *C*(*n*)*<sup>T</sup>* † *vecA*(*n*) *f* − *A*<sup>0</sup>(*n*) + ⎛⎜⎜⎜⎜⎝*I* − *B*(*n*) 0 ⊗ *C*(*n*)*<sup>T</sup>* † *B*(*n*) 0 ⊗ *C*(*n*)*<sup>T</sup>* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ *vecK<sup>v</sup>*(*n*) 0 *vecK*<sup>ˆ</sup> *a*(*n*) 0 = *B*ˆ(*n*) 0 ⊗ *C*(*n*)*<sup>T</sup>* † *vecA*<sup>ˆ</sup>*<sup>a</sup>*(*n*+<sup>1</sup>) *f* − *A*<sup>ˆ</sup>(*n*+<sup>1</sup>) + ⎛⎜⎜⎜⎜⎝*I* − *B*ˆ(*n*) 0 ⊗ *C*(*n*)*<sup>T</sup>* † *B*ˆ(*n*) 0 ⊗ *C*(*n*)*<sup>T</sup>* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ *vecK*<sup>ˆ</sup> *av*(*n*) 0 *vecK*<sup>ˆ</sup>(*n*) 0 = *B*ˆ(*n*) 0 ⊗ *C*<sup>ˆ</sup>(*n*)*<sup>T</sup>* † *vec<sup>A</sup>*<sup>ˆ</sup>(*n*+<sup>1</sup>) *f* − *D*ˆ (*n*) − *D*ˆ (*n*) + ⎛⎜⎜⎜⎜⎝*I* − *B*ˆ(*n*) 0 ⊗ *C*<sup>ˆ</sup>(*n*)*<sup>T</sup>* † *B*ˆ(*n*) 0 ⊗ *C*<sup>ˆ</sup>(*n*)*<sup>T</sup>* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ *vecK*<sup>ˆ</sup> *v*(*n*) 0 *vecK*(*n*) *i* = −*B*(*n*) 0 ⊗ *<sup>C</sup>*(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*)*<sup>T</sup>* † *vecB*(*n*) *i <sup>C</sup>*(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*) + ⎛⎜⎜⎜⎜⎝*I* − *B*(*n*) 0 ⊗ *<sup>C</sup>*(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*)*<sup>T</sup>* † *B*(*n*) 0 ⊗ *<sup>C</sup>*(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*)*<sup>T</sup>* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ *vecK<sup>v</sup>*(*n*) *i vecK*<sup>ˆ</sup>(*n*) *i* = −*B*<sup>ˆ</sup>(*n*) 0 ⊗ *<sup>C</sup>*<sup>ˆ</sup>(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*)*<sup>T</sup>* † *vecB*<sup>ˆ</sup>(*n*) *i <sup>C</sup>*<sup>ˆ</sup>(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*) + ⎛⎜⎜⎜⎜⎝*I* − *B*ˆ(*n*) 0 ⊗ *<sup>C</sup>*<sup>ˆ</sup>(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*)*<sup>T</sup>* † *B*ˆ(*n*) 0 ⊗ *<sup>C</sup>*<sup>ˆ</sup>(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*)*<sup>T</sup>* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ *vecK*<sup>ˆ</sup> *v*(*n*) *i* (42) *vecK*<sup>ˆ</sup> *a*(*n*) *i* = −*B*<sup>ˆ</sup>(*n*) 0 ⊗ *<sup>C</sup>*(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*)*<sup>T</sup>* †*vecB*<sup>ˆ</sup> *a*(*n*) *i <sup>C</sup>*(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*) + ⎛⎜⎜⎜⎜⎝*I* − *B*ˆ(*n*) 0 ⊗ *<sup>C</sup>*(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*)*<sup>T</sup>* † *B*ˆ(*n*) 0 ⊗ *<sup>C</sup>*(*<sup>n</sup>*−*<sup>i</sup>*)*<sup>T</sup>* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ *vecK*<sup>ˆ</sup> *av*(*n*) *i* 

*with K<sup>v</sup>*(*n*) 0 *, Kav*(*n*) 0 *, K*ˆ *v*(*n*) 0 *, K<sup>v</sup>*(*n*) *i , K*ˆ *v*(*n*) *i and K*ˆ *av*(*n*) *i ;* ∀*i* ∈ *r;* ∀*n* ∈ *Z*0+ *being arbitrary matrices of appropriate orders for the corresponding equation (above) in each case whose equivalent vector expressions are denoted by vec* (.)*.*

It should be pointed out that it can be of interest to apply the results on interlacing Cauchy's theorem and some of its extensions (see e.g., [20–22]) to the stability of aggregation models based on dynamic systems formulated via differential, difference or hybrid differential/difference equations.
