**Proof.**

Because

*aij*(*k*) = *<sup>s</sup>θij*(*k*),((*TLij*(*k*), *<sup>T</sup>Uij*(*k*)),(*ILij*(*k*), *<sup>I</sup>Uij*(*k*)),(*FLij*(*k*), *FUij*(*k*)))(*j* = 1, 2, ..., *m*) ⇒ *m* ⊗ *j*=1 *aij*(*k*) = *sl*·<sup>∏</sup>*mj*=<sup>1</sup> ( *θij*(*k*) *l* ) , M *m*∏*j*=1 *<sup>T</sup>Lij*(*k*), *m*∏*j*=1 *<sup>T</sup>Uij*(*k*)N, M1 − *m*∏*j*=11 − *<sup>I</sup>Lij*(*k*), 1 − *m*∏*j*=11 − *<sup>I</sup>Uij*(*k*)N, M1 − *m*∏*j*=11 − *<sup>F</sup>Lij*(*k*), 1 − *m*∏*j*=11 − *<sup>F</sup>Uij*(*k*)N ⇒ ⊕<sup>1</sup>≤*i*1<...<sup>&</sup>lt;*im*≤*<sup>n</sup> m*⊗*j*=1*aij* = *sl*−*l*·∏*<sup>C</sup>mnk*=<sup>1</sup> (<sup>1</sup>−<sup>∏</sup>*mj*=<sup>1</sup> ( *θij*(*k*) *l* )) , M1 − *Cmn* ∏*k*=11 − *m*∏*j*=1 *<sup>T</sup>Lij*(*k*), 1 − *Cmn* ∏*k*=11 − *m*∏*j*=1 *<sup>T</sup>Uij*(*k*)N, M *Cmn* ∏*k*=11 − *m*∏*j*=11 − *<sup>I</sup>Lij*(*k*), *Cmn* ∏*k*=11 − *m*∏*j*=11 − *<sup>I</sup>Uij*(*k*)N, M *Cmn* ∏*k*=11 − *m*∏*j*=11 − *<sup>F</sup>Lij*(*k*), *Cmn* ∏*k*=11 − *m*∏*j*=11 − *<sup>F</sup>Uij*(*k*)N ⇒ ⎛⎜⎜⎜⎜⎝<sup>⊕</sup>1≤*i*1<...<sup>&</sup>lt;*im*≤*<sup>n</sup> m*⊗*j*=1*aij Cmn* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 1 *m* = *sl*·(<sup>1</sup>−∏*<sup>C</sup>mnk*=<sup>1</sup> (<sup>1</sup>−<sup>∏</sup>*mj*=<sup>1</sup> ( *θij*(*k*) *l* )) 1*Cmn* ) 1*m* , ⎛⎜⎜⎝⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1 − *Cmn* ∏*k*=11 − *m*∏*j*=1 *<sup>T</sup>Lij*(*k*) 1*Cmn* ⎞⎟⎠ 1*m* , ⎛⎜⎝1 − *Cmn* ∏*k*=11 − *m*∏*j*=1 *<sup>T</sup>Uij*(*k*) 1*Cmn* ⎞⎟⎠ 1*m* ⎤⎥⎥⎦, ⎡ ⎢⎢⎣1 − ⎛⎝1 − *Cmn* ∏*k*=11 − *m*∏*j*=11 − *<sup>I</sup>Lij*(*k*) 1*Cmn* ⎞⎠ 1 *m* , 1 − ⎛⎝1 − *Cmn* ∏*k*=11 − *m*∏*j*=11 − *<sup>I</sup>Uij*(*k*) 1*Cmn* ⎞⎠ 1 *m* ⎤ ⎥⎥⎦,

$$\left[1 - \left(1 - \prod\_{k=1}^{C\_\pi^m} \left(1 - \prod\_{j=1}^m \left(1 - F^L\_{\bar{i}\_j(k)}\right)\right)^{\frac{1}{C\_\pi^l}}\right)^{\frac{1}{\pi}}, 1 - \left(1 - \prod\_{k=1}^{C\_\pi^m} \left(1 - \prod\_{j=1}^m \left(1 - F^L\_{\bar{i}\_j(k)}\right)\right)^{\frac{1}{C\_\pi^l}}\right)^{\frac{1}{\pi}}\right]\right)^{-1}$$

Therefore, Theorem 1 is kept. -

**Property 1.** *Let xi* = *s <sup>α</sup>i* ,([*T<sup>L</sup>*(*xi*), *<sup>T</sup><sup>U</sup>*(*xi*)], [*I<sup>L</sup>*(*xi*), *<sup>I</sup><sup>U</sup>*(*xi*)], [*F<sup>L</sup>*(*xi*), *<sup>F</sup><sup>U</sup>*(*xi*)]) (*i* = 1, 2, ..., *n*) *and yi* = *s βi* ,([*T<sup>L</sup>*(*yi*), *<sup>T</sup><sup>U</sup>*(*yi*)], [*I<sup>L</sup>*(*yi*), *<sup>I</sup><sup>U</sup>*(*yi*)], [*F<sup>L</sup>*(*yi*), *<sup>F</sup><sup>U</sup>*(*yi*)]) (*i* = 1, 2, ..., *n*) *be sets of INLNs. There are four properties of INLMSM*(*m*) *operator, which is shown below*.


