**Appendix B**

From Equations (3)–(4), (16), and (55)–(56), we have

$$\begin{split} \frac{\partial \overline{\eta}}{\partial \overline{\eta}} &= S\_{13} \frac{\partial^2 \overline{\eta}}{\partial \overline{\eta}^2} + S\_{33} \frac{\partial^2 \overline{\eta}}{\partial \overline{\eta}^2} - \overline{d}\_{33} \frac{\partial \overline{\eta}}{\partial \overline{\eta}} \\ &= -6S\_{13} \overline{\eta} \overline{\eta}^2 Z^2 - \frac{12}{b} S\_{13} \overline{\eta} \overline{\chi} ZZ + 2(2S\_{13} + S\_{44}) S\_{13} \overline{\eta} Z^3 - \frac{3(2S\_{13} + S\_{44})}{10} S\_{13} \overline{\eta} Z \\ &+ \frac{12}{b} S\_{13} \overline{\eta} \overline{\chi} Z + S\_{13} (\overline{d}\_{31})^2 \Big[ \frac{2}{(\overline{\chi}\_{33})} \overline{\eta} Z^3 + \frac{2(2S\_{13} + S\_{44})}{\overline{\chi}\_{33}} \overline{\eta} Z^3 - \frac{3}{10 \overline{\chi}\_{33}} \overline{\eta} Z - \frac{3(2S\_{13} + S\_{44})}{10 \overline{\chi}\_{33}} \overline{\eta} Z \Big] \\ &+ S\_{13} \overline{\eta} \overline{d}\_{31} \overline{d}\_{33} (-\frac{4}{\overline{\chi}\_{33}} \overline{\eta} Z^3 + \frac{3}{5 \overline{\chi}\_{33}} \overline{\eta} Z) + S\_{13} \overline{d}\_{31} \overline{d}\_{15} (\frac{4}{\chi\_{33}} \overline{\eta} Z^3 - \frac{3}{5 \overline{\chi}\_{33}} \overline{\eta} Z) - 2 S\_{33} \overline{\eta} Z^3 + \frac{3}{2} S\_{33} \overline{\eta} Z - S\_{33} \overline$$

and

$$\begin{split} \frac{\partial\widetilde{\eta}}{\partial\widetilde{X}} &= \frac{3^2}{4\mathcal{Z}} \mathcal{Z} + S\_{13}\frac{3^2 \widetilde{\eta}}{\partial\widetilde{X}} - \overline{d}\_{31}\frac{\partial\Phi}{\partial\widetilde{Z}} \\ &- 6\widetilde{q}\mathcal{X}^2\mathcal{Z} - \frac{12}{b}\widetilde{P}\mathcal{X}Z + 2(2S\_{13} + S\_{44})\widetilde{q}\mathcal{Z}^3 + \frac{12}{b}\widetilde{M}\mathcal{Z} - \frac{3(2S\_{13} + S\_{44})}{10}\widetilde{q}\mathcal{Z} + (\widetilde{d}\_{31})^2\left[\frac{2}{(\overline{\lambda}\_{33})}\widetilde{q}\mathcal{Z}\right] \\ &+ \frac{2(2S\_{13} + S\_{44})}{\overline{\lambda}\_{33}}\widetilde{q}\mathcal{Z}^3 - \frac{3}{10(\overline{\lambda}\_{33})}\widetilde{q}\mathcal{Z} - \frac{3(2S\_{13} + S\_{44})}{10\overline{\lambda}\_{33}}\widetilde{q}\mathcal{Z}\Big] + \widetilde{d}\_{31}\widetilde{d}\mathcal{Z}\Big(3 - \frac{4}{\lambda\_{33}}\widetilde{q}\mathcal{Z}^3 + \frac{3}{5\lambda\_{33}}\widetilde{q}\mathcal{Z}\Big) \\ &+ \widetilde{d}\_{31}\widetilde{d}\_{15}\left(\frac{4}{\lambda\_{33}}\widetilde{q}\mathcal{Z}^3 - \frac{3}{5\lambda\_{33}}\widetilde{q}\mathcal{Z}\right) - 2S\_{13}\widetilde{q}\mathcal{Z}^3 + \frac{3}{5}S\_{13}\widetilde{q}\mathcal{Z} - S\_{13}\widetilde{\frac{2}{3}} - \widetilde{d}\_{31}\widetilde{d}\_{31}\left[-\frac{6}{\lambda\_{33}}\widetilde{q}\mathcal{X}^2\mathcal{Z} \\ &- \frac{12}{b$$

Integrating Equations (A32) and (A33) respectively, we may obtain

*w*= −6 *b <sup>S</sup>*13*PXZ*<sup>2</sup> + (2*S*13+*S*44) 2 *<sup>S</sup>*13*qZ*<sup>4</sup> + 6*bS*13*MZ*<sup>2</sup> − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 20 *<sup>S</sup>*13*qZ*<sup>2</sup> − <sup>3</sup>*S*13*qX*2*Z*<sup>2</sup> <sup>+</sup>*S*13(*d*31)<sup>2</sup>[ 1 <sup>2</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qZ*<sup>4</sup> + (2*S*13+*S*44) 2λ33 *qZ*<sup>4</sup> − 3 <sup>20</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qZ*<sup>2</sup> − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 20λ33 *qZ*<sup>2</sup>] <sup>+</sup>*S*13*d*31*d*33(− 1λ33 *qZ*<sup>4</sup> + 3 10λ33 *qZ*<sup>2</sup>) + *<sup>S</sup>*13*d*31*d*15( 1λ33 *qZ*<sup>4</sup> − 3 10λ33 *qZ*<sup>2</sup>) − *S*33 2 *qZ*<sup>4</sup> <sup>+</sup>34*<sup>S</sup>*33*qZ*<sup>2</sup> − *S*33 *q*2*<sup>Z</sup>* − *d*33*d*31[− 3λ33 *qX*2*Z*<sup>2</sup> − 6 *b*λ33 *PXZ*<sup>2</sup> + 1 <sup>2</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qZ*<sup>4</sup> − 1 <sup>4</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qZ*<sup>2</sup> +(2*S*13+*S*44) 2λ33 *qZ*<sup>4</sup> + 6 *b*λ33 *MZ*<sup>2</sup> − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 20λ33 *qZ*<sup>2</sup>] − *d*33*d*33[− 1 2λ33 *qZ*<sup>4</sup> + 3 4λ33 *qZ*<sup>2</sup> − 1 2λ33 *q<sup>Z</sup>*] − *d*33*d*15[ 1 2λ33 *qZ*<sup>2</sup> + 1 2λ33 *qZ*<sup>4</sup> − 3 4λ33 *qZ*<sup>2</sup>] + *<sup>G</sup>*0(*X*) (A34)

*u* = −2*qX*3*<sup>Z</sup>* − 6*bPX*2*<sup>Z</sup>* + <sup>2</sup>(2*S*13 + *<sup>S</sup>*44)*qXZ*<sup>3</sup> + 12*b MXZ* − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 10 *qXZ* +(*d*31)<sup>2</sup>[ 2 (<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qXZ*<sup>3</sup> + <sup>2</sup>(2*S*13+*S*44) λ33 *qXZ*<sup>3</sup> − 3 <sup>10</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qXZ* − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 10λ33 *qXZ*] <sup>+</sup>*d*31*d*33(− 4λ33 *qXZ*<sup>3</sup> + 3 5λ33 *qXZ*) + *d*31*d*15( 4λ33 *qXZ*<sup>3</sup> − 3 5λ33 *qXZ*) − <sup>2</sup>*S*13*qXZ*<sup>3</sup> <sup>+</sup>32*<sup>S</sup>*13*qXZ* − *S*13 *q*2*<sup>X</sup>* − *d*31*d*31[− 2λ33 *qX*3*<sup>Z</sup>* − 6 *b*λ33 *PX*2*Z* + 2 (<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qXZ*<sup>3</sup> − 1 <sup>2</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qXZ* +<sup>2</sup>(2*S*13+*S*44) λ33 *qXZ*<sup>3</sup> + 12 *b*λ33 *MXZ* − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 10λ33 *qXZ*] − *d*31*d*33[− 2λ33 *qXZ*<sup>3</sup> + 3 2λ33 *qXZ* − 1 2λ33 *q<sup>X</sup>*] − *d*31*d*15[ 1λ33 *qXZ* + 2λ33 *qXZ*<sup>3</sup> − 3 2λ33 *qXZ*] + *<sup>G</sup>*1(*Z*) , (A35)

From Equations (5) and (16), one has

−2*qX*<sup>3</sup> + 2λ33 *<sup>d</sup>*31*d*31*qX*<sup>3</sup> − 6*bPX*<sup>2</sup> + 6 *b*λ33 *<sup>d</sup>*31*d*31*PX*<sup>2</sup> + 12*b MX* + 910*<sup>S</sup>*13*q<sup>X</sup>* + 1210*<sup>S</sup>*44*q<sup>X</sup>* + 1 <sup>5</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *d*31*d*31*q<sup>X</sup>* − 9 10λ33 *d*31*d*33*q<sup>X</sup>* + 2 5λ33 *d*31*d*15*q<sup>X</sup>* − 12 *b*λ33 *d*31*d*31*MX* − *d*15*d*15*q<sup>X</sup>* + *dG*0(*X*) *dX* = [ 6*bS*13*<sup>P</sup>* + 6*bS*44*<sup>P</sup>* − 6 *b*λ33 *d*33*d*31*P* + 6 *b*λ33 *<sup>d</sup>*15*d*31*<sup>P</sup>*]*Z*<sup>2</sup> − 32*bS*44*<sup>P</sup>* − 3 2*b*λ33 *d*15*d*31*P* − *dG*1(*Z*) *dZ* = *A* , (A36)

where *A* is an undetermined constant. From Equation (A36), we have

$$\begin{split} \frac{d\overline{G}\_{0}(X)}{dX} &= [2\overline{q} - \frac{2}{\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{31}\overline{q}]X^{3} + [\frac{4}{b}\overline{P} - \frac{6}{\overline{b}\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{31}\overline{P}]X^{2} + [-\frac{12}{b}\overline{M} - \frac{9}{10}S\_{13}\overline{q} - \frac{12}{10}S\_{44}\overline{q} \\ &- \frac{1}{5(\overline{\lambda}\_{33})}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{31}\overline{q} + \frac{9}{10\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{33}\overline{q} - \frac{2}{5\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{15}\overline{q} + \frac{12}{b\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{31}\overline{M} + \overline{d}\_{15}\overline{d}\_{15}\overline{q}]X + A \ &\dots \ \end{split} \tag{A.37}$$

Integrating Equation (A37), it can be obtained

$$\begin{split} \mathcal{G}\_{0}(X) &= [\frac{1}{2}\overline{q} - \frac{1}{2\overline{\lambda}\eta}\overline{d}\_{33}\overline{d}\_{33}\overline{q}]X^{4} + [\frac{2}{b}\overline{P} - \frac{2}{b\overline{\lambda}\eta}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{31}\overline{P}]X^{3} + [-\frac{6}{b}\overline{M} - \frac{9}{20}\mathcal{S}\_{13}\overline{q} - \frac{6}{10}\mathcal{S}\_{44}\overline{q} \\ &- \frac{1}{10(\overline{\lambda}\eta\_{33})}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{31}\overline{q} + \frac{9}{20\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{33}\overline{q} - \frac{1}{5\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{15}\overline{q} + \frac{6}{b\overline{\lambda}\_{13}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{31}\overline{M} + \frac{1}{2}\overline{d}\_{15}\overline{d}\_{15}\overline{q}]X^{2} + AX + B \\ &\mathcal{G}\_{1}(Z) = [\frac{2}{b}\mathcal{S}\_{13}\overline{P} + \frac{2}{b}\mathcal{S}\_{44}\overline{P} - \frac{2}{b\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{q} + \frac{2}{b\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{15}\overline{d}\_{31}\overline{P}]Z^{3} \\ &+ [-\frac{2}{2b}\mathcal{S}\_{44}\overline{P} - \frac{3}{2\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{15}\overline{d}\_{31}\overline{P} - A]Z + \mathbb{C} \end{split} \tag{A38}$$

Thus, we can finally obtain

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

*w* = −3*S*13*qX*2*Z*<sup>2</sup> − 6*bS*13*PXZ*<sup>2</sup> + (2*S*13+*S*44) 2 *<sup>S</sup>*13*qZ*<sup>4</sup> + 6*bS*13*MZ*<sup>2</sup> − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 20 *<sup>S</sup>*13*qZ*<sup>2</sup> <sup>+</sup>*S*13(*d*31)<sup>2</sup>[ 1 <sup>2</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qZ*<sup>4</sup> + (2*S*13+*S*44) 2λ33 *qZ*<sup>4</sup> − 3 <sup>20</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qZ*<sup>2</sup> − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 20λ33 *qZ*<sup>2</sup>] − *S*33 2 *qZ*<sup>4</sup> <sup>+</sup>*S*13*d*31*d*33(− 1λ33 *qZ*<sup>4</sup> + 3 10λ33 *qZ*<sup>2</sup>) + *<sup>S</sup>*13*d*31*d*15( 1λ33 *qZ*<sup>4</sup> − 3 10λ33 *qZ*<sup>2</sup>) + 34*<sup>S</sup>*33*qZ*<sup>2</sup> − *S*33 *q*2*<sup>Z</sup>* −*d*33*d*31[− 3λ33 *qX*2*Z*<sup>2</sup> − 6 *b*λ33 *PXZ*<sup>2</sup> + 1 <sup>2</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qZ*<sup>4</sup> − 1 <sup>4</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qZ*<sup>2</sup> + (2*S*13+*S*44) 2λ33 *qZ*<sup>4</sup> + 6 *b*λ33 *MZ*<sup>2</sup> − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 20λ33 *qZ*<sup>2</sup>] − *d*33*d*33[− 1 2λ33 *qZ*<sup>4</sup> + 3 4λ33 *qZ*<sup>2</sup> − 1 2λ33 *q<sup>Z</sup>*] − *d*33*d*15[ 1 2λ33 *qZ*<sup>2</sup> + 1 2λ33 *qZ*<sup>4</sup> − 3 4λ33 *qZ*<sup>2</sup>]+[ 12 *q* − 1 2λ33 *<sup>d</sup>*31*d*31*q*]*X*<sup>4</sup> + [ 2*bP* − 2 *b*λ33 *<sup>d</sup>*31*d*31*<sup>P</sup>*]*X*<sup>3</sup> + [−6*b<sup>M</sup>* − 920*<sup>S</sup>*13*<sup>q</sup>* − 610*<sup>S</sup>*44*<sup>q</sup>* − 1 <sup>10</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *d*31*d*31*q* + 9 20λ33 *d*31*d*33*q* − 1 5λ33 *d*31*d*15*q* + 6 *b*λ33 *d*31*d*31*M* + 12 *<sup>d</sup>*15*d*15*q*]*X*<sup>2</sup> + *AX* + *B* (A39)

*u* = −2*qX*3*<sup>Z</sup>* − 6*bPX*2*<sup>Z</sup>* + <sup>2</sup>(2*S*13 + *<sup>S</sup>*44)*qXZ*<sup>3</sup> + 12*b MXZ* − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 10 *qXZ* − <sup>2</sup>*S*13*qXZ*<sup>3</sup> +(*d*31)<sup>2</sup>[ 2 (<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qXZ*<sup>3</sup> + <sup>2</sup>(2*S*13+*S*44) λ33 *qXZ*<sup>3</sup> − 3 <sup>10</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qXZ* − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 10λ33 *qXZ*] − *S*13 *q*2*<sup>X</sup>* <sup>+</sup>*d*31*d*33(− 4λ33 *qXZ*<sup>3</sup> + 3 5λ33 *qXZ*) + *d*31*d*15( 4λ33 *qXZ*<sup>3</sup> − 3 5λ33 *qXZ*) + 32*<sup>S</sup>*13*qXZ* −*d*31*d*31[− 2λ33 *qX*3*<sup>Z</sup>* − 6 *b*λ33 *PX*2*Z* + 2 (<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qXZ*<sup>3</sup> − 1 <sup>2</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *qXZ* + <sup>2</sup>(2*S*13+*S*44) λ33 *qXZ*<sup>3</sup> + 12 *b*λ33 *MXZ* − <sup>3</sup>(2*S*13+*S*44) 10λ33 *qXZ*] − *d*31*d*33[− 2λ33 *qXZ*<sup>3</sup> + 3 2λ33 *qXZ* − 1 2λ33 *q<sup>X</sup>*] −*d*31*d*15[ 1λ33 *qXZ* + 2λ33 *qXZ*<sup>3</sup> − 3 2λ33 *qXZ*]+[ 2*bS*13*<sup>P</sup>* + 2*bS*44*<sup>P</sup>* − 2 *b*λ33 *d*33*d*31*P* + 2 *b*λ33 *<sup>d</sup>*15*d*31*<sup>P</sup>*]*Z*<sup>3</sup> + [− 32*bS*44*<sup>P</sup>* − 3 2*b*λ33 *d*15*d*31*P* − *A*]*Z* + *C* . (A40)

Substituting Equations (A39) and (A40) into Equation (24), we have

$$\begin{split} A &= -\left[2\overline{q} - \frac{2}{\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{31}\overline{q}\right]\overline{q}^{3} - \left[\frac{6}{b}\overline{P} - \frac{6}{\overline{h}\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{31}\overline{P}\right]\overline{q}^{2} - \left[-\frac{12}{b}\overline{M} - \frac{9}{10}S\_{13}\overline{q} - \frac{6}{5}S\_{44}\overline{q} \\ &- \frac{1}{5(\overline{\lambda}\_{33})}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{31}\overline{q} + \frac{9}{10\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{33}\overline{q} - \frac{2}{5\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{15}\overline{q} + \frac{12}{5\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{31}\overline{M} + \overline{d}\_{15}\overline{d}\_{15}\overline{q}\right]\overline{q} \end{split} \tag{A41}$$

$$\begin{split} B &= \left[ \frac{3}{2} \overline{q} - \frac{3}{2\overline{\lambda}\_{33}} \overline{d}\_{31} \overline{d}\_{31} \overline{q} \right] \frac{\mathsf{i}}{\mathsf{h}^{4}} + \left[ \frac{4}{b} \overline{P} - \frac{4}{b\overline{\lambda}\_{33}} \overline{d}\_{31} \overline{d}\_{31} \overline{P} \right] \frac{\mathsf{j}^{2}}{\mathsf{h}^{5}} - \left[ \frac{6}{b} \overline{M} + \frac{9}{20} \overline{S}\_{13} \overline{q} + \frac{6}{10} \overline{S}\_{44} \overline{q} \right] \\ &+ \frac{1}{10 \left( \overline{\lambda}\_{33} \right)^{2}} \overline{d}\_{31} \overline{d}\_{31} \overline{q} - \frac{9}{20 \overline{\lambda}\_{33}} \overline{d}\_{31} \overline{d}\_{33} \overline{q} + \frac{1}{5 \overline{\lambda}\_{33}} \overline{d}\_{31} \overline{d}\_{15} \overline{q} - \frac{6}{b \overline{\lambda}\_{33}} \overline{d}\_{31} \overline{d}\_{31} \overline{M} - \frac{1}{2} \overline{d}\_{15} \overline{d}\_{15} \overline{q} \right] \frac{\mathsf{2}}{\mathsf{h}^{2}} \end{split} \tag{A42}$$

and

$$C = S\_{13}\frac{\overline{q}}{2}\frac{l}{h} - \frac{1}{2\overline{\lambda}\_{33}}\overline{d}\_{31}\overline{d}\_{33}\overline{q}\frac{l}{h}.\tag{A43}$$

From Equations (16), (A41), (A42), and (A43), Equations (A39) and (A40) can be transformed into

*w* = −3*<sup>s</sup>*13*q* 1*h*<sup>3</sup> *x*2*z*<sup>2</sup> − 6*b <sup>s</sup>*13*P* 1*h*<sup>3</sup> *xz*<sup>2</sup> + (<sup>2</sup>*s*13+*s*44) 2*s*11 *<sup>s</sup>*13*q* 1*h*<sup>3</sup> *z*4 + 6*b s*13 *Mh*3 *z*2 − <sup>3</sup>(<sup>2</sup>*s*13+*s*44) 20*<sup>s</sup>*11 *<sup>s</sup>*13*q* 1*h z*2 + λ11 <sup>2</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *s*13 *s*11 (*d*31)<sup>2</sup>*<sup>q</sup>* 1*h*<sup>3</sup> *z*4 + (<sup>2</sup>*s*13+*s*44)*<sup>s</sup>*13 <sup>2</sup>λ33(*<sup>s</sup>*11)<sup>2</sup> *<sup>q</sup>*(*d*31)<sup>2</sup> 1*h*<sup>3</sup> *z*4 − 3λ11*s*13 <sup>20</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup>*s*11 (*d*31)<sup>2</sup>*<sup>q</sup>* 1*h z*2 − *s*332 *qz* − <sup>3</sup>(<sup>2</sup>*s*13+*s*44) <sup>20</sup>λ33(*<sup>s</sup>*11)<sup>2</sup> *<sup>s</sup>*13(*d*31)<sup>2</sup>*<sup>q</sup>* 1*h z*2 − *s*13 λ33*s*11 *d*31*d*33*q* 1*h*<sup>3</sup> *z*4 + 3*<sup>s</sup>*13 10λ33*s*11 *d*31*d*33*q* 1*h z*2 − *s*332 *q* 1*h*<sup>3</sup> *z*4 + *s*13 λ33*s*11 *d*31*d*15*q* 1*h*<sup>3</sup> *z*4 − 3*<sup>s</sup>*13 10λ33*s*11 *d*31*d*15*q* 1*h z*2 + 3*<sup>s</sup>*33 4 *q* 1*h z*2 + 3λ33 *d*33*d*31*q* 1*h*<sup>3</sup> *x*2*z*<sup>2</sup> + 6 *b*λ33 *d*33*d*31 *Ph*3 *xz*<sup>2</sup> − λ11 <sup>2</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *d*33*d*31*q* 1*h*<sup>3</sup> *z*4 + λ11 <sup>4</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *d*33*d*31*q* 1*h z*2 − 6 *b*λ33 *d*33*d*31 *Mh*3 *z*2 − (<sup>2</sup>*s*13+*s*44) 2λ33*s*11 *d*33*d*31*q* 1*h*<sup>3</sup> *z*4 + <sup>3</sup>(<sup>2</sup>*s*13+*s*44) 20λ33*s*11 *d*33*d*31*q* 1*h z*2 + 1 2λ33 *d*33*d*33*q* 1*h*<sup>3</sup> *z*4 − 3 4λ33 *d*33*d*33*q* 1*h z*2 + 1 2λ33 *d*33*d*33*qz* − 1 2λ33 *d*33*d*15*q* 1*h z*2 − 1 2λ33 *d*33*d*15*q* 1*h*<sup>3</sup> *z*4 + 3 4λ33 *d*33*d*15*q* 1*h z*2 + [ 12 *qs*11 − 1 2λ33 *d*31*d*31*q*] 1*h*<sup>3</sup> *x*4 + [ 2*b Ph s*11 − 2 *b*λ33 *d*31*d*31 *Ph* ] 1*h*<sup>2</sup> *x*3 +[−6*b Mh*2 *s*11 − 920 *<sup>s</sup>*13*q* − 610 *<sup>s</sup>*44*q* − λ11 <sup>10</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *d*31*d*31*q* + 9 20λ33 *d*31*d*33*q* − 1 5λ33 *d*31*d*15*q* + 6 *b*λ33 *d*31*d*31 *Mh*2 + 1 2λ11 *d*15*d*15*q*] 1*h x*2 − [<sup>2</sup>*qs*11 − 2λ33 *d*31*d*31*q*] *l*3*h*<sup>3</sup> + [ 6*b Ph s*11 − 6 *b*λ33 *d*31*d*31 *Ph* ] *l*2*h*<sup>2</sup> + [−12*b Mh*2 *s*11 − 910 *<sup>s</sup>*13*q* − 65 *<sup>s</sup>*44*q* − λ11 <sup>5</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *d*31*d*31*q* + 9 10λ33 *d*31*d*33*q* − 2 5λ33 *d*31*d*15*q* + 12 *b*λ33 *d*31*d*31 *Mh*2 + 1λ11 *d*15*d*15*q*] *lh x* + [ 32 *qs*11 − 3 2λ33 *d*31*d*31*q*] *l*4*h*<sup>3</sup> +[ 4*b Ph s*11 − 4 *b*λ33 *d*31*d*31 *Ph* ] *l*3*h*<sup>2</sup> − [ 6*b Mh*2 *s*11 + 920 *<sup>s</sup>*13*q* + 610 *<sup>s</sup>*44*q* + λ11 <sup>10</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *d*31*d*31*q* − 9 20λ33 *d*31*d*33*q* + 1 5λ33 *d*31*d*15*q* − 6 *b*λ33 *d*31*d*31 *Mh*2 − 1 2λ11 *d*15*d*15*q*] *l*2*h* (A44)

*u* = −2*qs*<sup>11</sup> 1*h*<sup>3</sup> *x*3*z* − 6*b Ph*3 *<sup>s</sup>*11*x*2*<sup>z</sup>* + <sup>2</sup>(<sup>2</sup>*s*13 + *<sup>s</sup>*44)*q* 1*h*<sup>3</sup> *xz*<sup>3</sup> + 12*b Mh*3 *s*11*xz* + 32 *<sup>s</sup>*13*q* 1*h xz* − <sup>3</sup>(<sup>2</sup>*s*13+*s*44) 10 *q* 1*h xz* + 2λ11 (<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> (*d*31)<sup>2</sup>*<sup>q</sup>* 1*h*<sup>3</sup> *xz*<sup>3</sup> + <sup>2</sup>(<sup>2</sup>*s*13+*s*44) λ33*s*11 (*d*31)<sup>2</sup>*<sup>q</sup>* 1*h*<sup>3</sup> *xz*<sup>3</sup> − *s*13 *q*2 *x* − 3λ11 <sup>10</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> (*d*31)<sup>2</sup>*<sup>q</sup>* 1*h xz* − <sup>3</sup>(<sup>2</sup>*s*13+*s*44) 10λ33*s*11 (*d*31)<sup>2</sup>*<sup>q</sup>* 1*h xz* − 4λ33 *d*31*d*33*q* 1*h*<sup>3</sup> *xz*<sup>3</sup> − 1 2λ33 *d*31*d*33*ql* + 3 5λ33 *d*31*d*33*q* 1*h xz* + 4λ33 *d*31*d*15*q* 1*h*<sup>3</sup> *xz*<sup>3</sup> − 3 5λ33 *d*31*d*15*q* 1*h xz* − 2*s*13*q* 1*h*<sup>3</sup> *xz*<sup>3</sup> + 2λ33 *d*31*d*31*q* 1*h*<sup>3</sup> *x*3*z* + 6 *b*λ33 *d*31*d*31 *Ph*3 *x*2*z* − 2λ11 (<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *d*31*d*31*q* 1*h*<sup>3</sup> *xz*<sup>3</sup> + 1 2λ33 *d*31*d*33*qx* + λ11 <sup>2</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *d*31*d*31*q* 1*h xz* − <sup>2</sup>(<sup>2</sup>*s*13+*s*44) λ33*s*11 *d*31*d*31*q* 1*h*<sup>3</sup> *xz*<sup>3</sup> − 12 *b*λ33 *d*31*d*31 *Mh*3 *xz* +<sup>3</sup>(<sup>2</sup>*s*13+*s*44) 10λ33*s*11 *d*31*d*31*q* 1*h xz* + 2λ33 *d*31*d*33*q* 1*h*<sup>3</sup> *xz*<sup>3</sup> − 3 2λ33 *d*31*d*33*q* 1*h xz* + *s*13 *q*2 *l* − 1 λ33 *d*31*d*15*q* 1*h xz* − 2λ33 *d*31*d*15*q* 1*h*<sup>3</sup> *xz*<sup>3</sup> + 3 2λ33 *d*31*d*15*q* 1*h xz* + [ 2*b s*13 *Ph* + 2*b s*44 *Ph* − 2 *b*λ33 *d*33*d*31 *Ph* + 2 *b*λ33 *d*15*d*31 *Ph* ] 1*h*<sup>2</sup> *z*3 + − 32*b s*44 *Ph* − 3 2*b*λ33 *d*15*d*31 *Ph* + [<sup>2</sup>*qs*11 − 2 λ33 *d*31*d*31*q*] *l*3*h*<sup>3</sup> + [ 6*b Ph s*11 − 6 *b*λ33 *d*31*d*31 *Ph* ] *l*2*h*<sup>2</sup> + [−12*b Mh*2 *s*11 − 910 *<sup>s</sup>*13*q* − 65 *<sup>s</sup>*44*q* − λ11 <sup>5</sup>(<sup>λ</sup>33)<sup>2</sup> *d*31*d*31*q* + 9 10λ33 *d*31*d*33*q* − 2 5λ33 *d*31*d*15*q* + 12 *b*λ33 *d*31*d*31 *Mh*2 + 1λ11 *d*15*d*15*q*] *lh z* . (A45)

Similarly, the expression of stress components can be obtained

$$\begin{split} \sigma\_{x} &= -6q \frac{1}{h^{3}} \mathbf{x}^{2} z - \frac{12}{b} \frac{p}{h^{3}} \mathbf{x} z + \left[ \frac{2(2s\_{13} + s\_{44})}{s\_{11}} q \frac{1}{h^{3}} + \frac{2\lambda\_{11}}{s\_{11}(\lambda\_{33})^{2}} (d\_{31})^{2} q \frac{1}{h^{3}} - \frac{4}{\lambda\_{33}s\_{11}} d\_{31} d\_{33} q \frac{1}{h^{3}} \\ &+ \frac{2(2s\_{13} + s\_{44})}{\lambda\_{33}(\mu\_{11})^{2}} (d\_{31})^{2} q \frac{1}{h^{3}} + \frac{4}{\lambda\_{33}s\_{11}} d\_{31} d\_{15} q \frac{1}{h^{3}} [z^{3} + \left[ \frac{12}{b} \frac{M}{h^{3}} - \frac{3(2s\_{13} + s\_{44})}{10s\_{11}} q \frac{1}{h} \right. \\ &- \frac{3\lambda\_{11}}{10s\_{11}(\lambda\_{33})^{2}} (d\_{31})^{2} q \frac{1}{h} - \frac{3(2s\_{13} + s\_{44})}{10 \lambda\_{33}(\mu\_{11})^{2}} (d\_{31})^{2} q \frac{1}{h} + \frac{3}{5 \lambda\_{33} s\_{11}} d\_{31} d\_{33} q \frac{1}{h} - \frac{3}{5 \lambda\_{33} s\_{11}} d\_{31} d\_{15} q \frac{1}{h} \end{split} \tag{A46}$$

$$
\sigma\_z = -\frac{2q}{h^3} z^3 + \frac{3q}{2h} z - \frac{q}{2},
\tag{A47}
$$

and

$$
\pi\_{zx} = \frac{6q}{h^3} xz^2 - \frac{3q}{2h} \mathbf{x} + \frac{6P}{bh^3} z^2 - \frac{3P}{2bh} \mathbf{.} \tag{A48}
$$

The expressions of electric displacement components are

$$D\_x = (d\_{15} + \frac{\lambda\_{11} d\_{31}}{\lambda\_{33}}) (\frac{6q}{h^3} xz^2 - \frac{3q}{2h} x + \frac{6P}{bh^3} z^2 - \frac{3P}{2bh}) \tag{A49}$$

and

$$\begin{split} D\_{z} &= \left[ \frac{2\lambda\_{11}}{s\_{11}(\lambda\_{33})} (d\_{31})^{3} q\_{\frac{1}{h^{3}}}^{1} + \frac{2(2s\_{13} + s\_{44})}{\lambda\_{33}(s\_{11})^{2}} (d\_{31})^{3} q\_{\frac{1}{h^{5}}}^{1} - \frac{4}{\lambda\_{33}s\_{11}} d\_{31} d\_{31} d\_{33} q\_{\frac{1}{h^{7}}}^{1} - \frac{2\lambda\_{11} d\_{31} q\_{1}}{\lambda\_{33} \mathbf{b}^{3}} \\ &+ \frac{4}{\lambda\_{33} s\_{11}} d\_{31} d\_{31} d\_{15} q\_{\frac{1}{h^{5}}}^{1} - \frac{2d\_{15} q\_{1}}{h^{3}} ] z^{3} + d\_{31} [-\frac{3\lambda\_{11}}{10 \alpha\_{11} (\lambda\_{33})^{2}} (d\_{31})^{3} q\_{\frac{1}{h}}^{1} - \frac{3(2s\_{13} + s\_{44})}{10 \lambda\_{33} (s\_{11})^{2}} (d\_{31})^{3} q\_{\frac{1}{h}}^{1} \, . \end{split}$$
