**Property 2: Commutativity**

If *h*∗*i* is any permutation of *hi* ∀*i* = 1, 2, ... , *k*, then *IVPHFMM*(<sup>λ</sup>1,λ2,...,λ*k*)(*<sup>h</sup>*1, *h*2, ... , *hk*) = *IVPHFMM*(<sup>λ</sup>1,λ2,...,λ*k*)*<sup>h</sup>*<sup>∗</sup>1, *<sup>h</sup>*<sup>∗</sup>2, ... , *h*∗*k*.

**Proof.**


*IVPHFMM*(<sup>λ</sup>1,λ2,...,λ*k*)*<sup>h</sup>*<sup>∗</sup>1, *<sup>h</sup>*<sup>∗</sup>2, ... , *h*∗*k* = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 2*nd k*=1⎛⎜⎜⎜⎜⎝2*nd j*=1 γ<sup>∗</sup>λ*<sup>j</sup> i* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠*wk* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 1*j* λ*j* , ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 2*nd k*=1⎛⎜⎜⎜⎜⎝2*nd <sup>j</sup>*=<sup>1</sup>*p*<sup>∗</sup>*li* λ*j*⎞⎟⎟⎟⎟⎠*wk* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 1*j* λ*j* , ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 2*nd k*=1⎛⎜⎜⎜⎜⎝2*nd <sup>j</sup>*=<sup>1</sup>*p*<sup>∗</sup>*ui* λ*j*⎞⎟⎟⎟⎟⎠*wk* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 1*j* λ*j* ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 2*nd k*=1⎛⎜⎜⎜⎜⎝2*nd j*=1 γλ*j i* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠*wk* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 1*j* λ*j* , ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 2*nd k*=1⎛⎜⎜⎜⎜⎝2*nd <sup>j</sup>*=<sup>1</sup>*pli*<sup>λ</sup>*j*⎞⎟⎟⎟⎟⎠*wk* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 1*j* λ*j* , ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 2*nd k*=1⎛⎜⎜⎜⎜⎝2*nd <sup>j</sup>*=<sup>1</sup>*pui* λ*j*⎞⎟⎟⎟⎟⎠*wk* ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 1*j* λ*j* ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠= *IVPHFMM*(<sup>λ</sup>1,λ2,...,λ*k*)(*<sup>h</sup>*1, *h*2, ... , *hk*)
