**Proof.**

$$\begin{array}{llll} 1. & \vdash\_{\mathsf{IK}\_{\mathsf{t}}} F\varphi \rightarrow \neg G\neg\varphi\\ 2. & \vdash\_{\mathsf{IK}\_{\mathsf{t}}} (F\varphi \rightarrow \neg G\neg\varphi) \rightarrow (G\neg\varphi \rightarrow \neg F\varphi) \\ 3. & \vdash\_{\mathsf{IK}\_{\mathsf{t}}} (G\neg\varphi \rightarrow \neg F\varphi) \\ \Box & \end{array} \tag{1.2.\text{MP}}$$

**Lemma 9. IKt** *H*¬*ϕ* → ¬*Pϕ*

> Proof analogous to the proof of the previous lemma.

**Lemma 10. IKt***F* (*ϕ* → *ψ*) → (*<sup>G</sup>ϕ* → *Fψ*)
