**Appendix A**

In this section, expressions for the elements of the observed information matrix of the alpha-power skew-*t* model are provided. Initially we suppose that *Y* ∼ APST(*μ*, *σ*, *λ*, *α*, *<sup>ν</sup>*), and for *i* = 1, ... , *n* we define *zi* = (*yi* − *μ*)/*<sup>σ</sup>*, *wi* = 1(*ν* + <sup>1</sup>)/(*z*2*i* + *<sup>ν</sup>*), *<sup>r</sup>*1(*<sup>z</sup>*; *ν*) = *fT*(*z*; *<sup>ν</sup>*)/F*T*(*<sup>z</sup>*; *<sup>ν</sup>*), *<sup>r</sup>*2(*<sup>z</sup>*; *λ*, *ν*) = *fST*(*z*; *λ*, *<sup>ν</sup>*)/F*ST*(*<sup>z</sup>*; *λ*, *<sup>ν</sup>*), and *<sup>r</sup>*3(*<sup>z</sup>*; *λ*, *ν*) = .1 + (1 + *λ*<sup>2</sup>) *z*2*ν* /− *ν*2 /F*ST*(*<sup>z</sup>*; *λ*, *<sup>ν</sup>*). Denoting the elements of the observed information matrix of the APST model by *jμμ*, *jμσ*, ... , *jαα*, and after some algebraic manipulations, we obtain

*jμμ* = − 1*σ*<sup>2</sup> *ν* + 1 *ν*<sup>2</sup> *n*∑*i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −2 + 1*σ*<sup>2</sup> *ν* + 1 *ν n*∑*<sup>i</sup>*=<sup>1</sup><sup>1</sup> + *z*2*iν* −2 + *λ σ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *ziwi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + 2 *σ*<sup>2</sup> *λ ν n* ∑ *i*=1 *ziwi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −2*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ*<sup>3</sup> *σ*<sup>2</sup> *ν* + 2 *ν n* ∑ *i*=1 *ziwi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −<sup>2</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ*<sup>2</sup> *σ*<sup>2</sup> *ν* + 1 *ν n* ∑ *<sup>i</sup>*=<sup>1</sup><sup>1</sup> + *z*2*iν* −<sup>3</sup>6*<sup>r</sup>*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1)7<sup>2</sup>

*jμσ* = − *λσ*2 *α* − 1 *π n*∑*<sup>i</sup>*=<sup>1</sup><sup>1</sup> + *z*2*iν* −<sup>1</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*3(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 *σ*<sup>2</sup> *ν* + 1 *ν n* ∑ *i*=1 *zi*1 + *z*2*iν* −1*r*2(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 *σ*<sup>2</sup> *n*∑*<sup>i</sup>*=<sup>1</sup>6*<sup>r</sup>*2(*zi*; *λ*, *ν*)7<sup>2</sup> 2 *σ*<sup>2</sup> *ν* + 1 *ν n* ∑ *i*=1 *zi*1 + *z*2*iν* −2 + *λ*<sup>3</sup> *σ*<sup>2</sup> *ν* + 2 *ν n* ∑ *i*=1 *z*2*i wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −<sup>2</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + 2 *σ*<sup>2</sup> *λ ν n* ∑ *i*=1 *z*2*i wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −2*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) − *λ σ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −2*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ*<sup>2</sup> *σ*<sup>2</sup> *ν* + 1 *ν n* ∑ *i*=1 *zi*1 + *z*2*iν* −<sup>3</sup>6*<sup>r</sup>*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1)7<sup>2</sup> − *λ σ*<sup>2</sup> *α* − 1 *π n* ∑ *i*=1 *zi*1 + *z*2*iν* −<sup>1</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*3(*zi*; *λ*, *ν*) − *α* − 1 *σ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *<sup>r</sup>*2(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 *σ*<sup>2</sup> *ν* + 1 *ν n*∑*i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −1*r*2(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 *σ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *zi*6*<sup>r</sup>*2(*zi*; *λ*, *ν*)7<sup>2</sup>

*jμ<sup>λ</sup>* = − *λ*<sup>2</sup>*σ ν* + 2 *ν n*∑*i*=1 *z*2*i wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −<sup>1</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + 1 *σ n* ∑ *i*=1 *wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) − *λ σ ν* + 1 *ν n* ∑ *i*=1 *zi*1 + *z*2*iν* −<sup>2</sup>6*<sup>r</sup>*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1)7<sup>2</sup> + *α* − 1 *πσ n* ∑ *i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −1*r*3(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 *πσ* 1 1 + *λ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *<sup>r</sup>*2(*zi*; *λ*, *<sup>ν</sup>*)*<sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*) *jμα* = 1*σ n*∑*i*=1 *<sup>r</sup>*2(*zi*; *λ*, *ν*) *jμν* = − 1*σν n*∑*i*=1 *zi*1 + *z*2*iν* −1 + *ν* + 1 *σν*<sup>2</sup> *n*∑*i*=1 *zi*1 + *z*2*iν* −2 + *λ σν*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *z*2*i wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −2*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ* 2*σ* 1 *ν*(*ν* + 1) *n* ∑ *i*=1 (*z*2*i* − <sup>1</sup>)*wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −2*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ*<sup>3</sup> 2*σ ν* + 2 *ν*<sup>2</sup>(*ν* + 1) *n* ∑ *i*=1 *z*2*i* (*z*2*i* − <sup>1</sup>)*wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −<sup>2</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) − *λ*<sup>2</sup> 2*σ* 1 *ν*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *zi*(*z*2*i* − 1)1 + *z*2*iν* −<sup>3</sup>6*<sup>r</sup>*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1)7<sup>2</sup> + *λ* 2*πσ α* − 1 *ν* + 1 *n* ∑ *i*=1 *zi*1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*3(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 <sup>2</sup>*πσ*(*ν* + 1) *λ* 1 + *λ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *<sup>r</sup>*2(*zi*; *λ*, *<sup>ν</sup>*)*<sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 2*σ ν* + 1 *ν*<sup>2</sup> *n*∑*i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −1*r*2(*zi*; *λ*, *ν*) − *α* − 1 2*σ n* ∑ *i*=1 log1 + *z*2*iν <sup>r</sup>*2(*zi*; *λ*, *ν*) − *α* − 1 2*σ n*∑*i*=1 *g*(*zi*, *ν*) F*ST*(*zi*; *λ*, *ν*)*<sup>r</sup>*2(*zi*; *λ*, *ν*) + *λ* 2*πσ α* − 1 *ν n* ∑ *i*=1 *zi*1 + *z*2*iν* −<sup>1</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*3(*zi*; *λ*, *ν*)

*jσσ* = − *nσ*<sup>2</sup> + 1*σ*<sup>2</sup> *ν* + 1 *ν n*∑*i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −1 + 2*σ*<sup>2</sup> *ν* + 1 *ν n*∑*i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −2 − 2*λ σ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *ziwi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −2*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) − *λ σ*2*ν n* ∑ *i*=1 *z*3*i wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −2*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ*<sup>3</sup> *σ*<sup>2</sup> *ν* + 2 *ν n* ∑ *i*=1 *z*3*i wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −<sup>2</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ*<sup>2</sup> *σ*<sup>2</sup> *ν* + 1 *ν n* ∑ *i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −3*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) − *λ σ*<sup>2</sup> *α* − 1 *π n* ∑ *i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −<sup>1</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*3(*zi*; *λ*, *ν*) − <sup>2</sup>(*α* − 1) *σ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *zir*2(*zi*; *λ*, *ν*) − *α* − 1 *σ*<sup>2</sup> *ν* + 1 *ν n*∑*i*=1 *z*3*i* 1 + *z*2*iν* −1*r*2(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 *σ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *z*2*i <sup>r</sup>*2(*zi*; *λ*, *ν*)

$$\begin{split} j\_{\sigma\lambda} &= \frac{1}{\sigma} \sum\_{i=1}^{n} z\_i w\_i \left( 1 + \frac{z\_i^2}{\nu} \right)^{-1} r\_1(\lambda z\_i w\_i; \nu + 1) \\ &+ \frac{\lambda^2}{\sigma} \frac{\nu + 2}{\nu} \sum\_{i=1}^{n} z\_i^3 w\_i \left( 1 + \frac{z\_i^2}{\nu} \right)^{-1} \left( 1 + \left( 1 + \lambda^2 \right) \frac{z\_i^2}{\nu} \right)^{-1} r\_1(\lambda z\_i w\_i; \nu + 1) \\ &+ \frac{\lambda}{\sigma} \frac{\nu + 1}{\nu} \sum\_{i=1}^{n} z\_i \left( 1 + \frac{z\_i^2}{\nu} \right)^{-2} \left[ r\_1(\lambda z\_i w\_i; \nu + 1) \right]^2 \\ &- \frac{\kappa - 1}{\pi \sigma} \sum\_{i=1}^{n} z\_i^2 \left( 1 + \frac{z\_i^2}{\nu} \right)^{-1} r\_3(z\_i; \lambda\_\nu \nu) \\ &+ \frac{\kappa - 1}{\pi \sigma} \frac{1}{1 + \lambda^2} \sum\_{i=1}^{n} r\_2(z\_i; \lambda, \nu) r\_3(z\_i; \lambda\_\nu \nu) \end{split}$$

$$j\_{\sigma\alpha} = \frac{1}{\sigma} \sum\_{i=1}^{n} z\_i r\_2(z\_i; \lambda, \nu)$$

*jσν* = − 1*σν n*∑*i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −1 + 1*σ ν* + 1 *ν*<sup>2</sup> *n*∑*i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −2 + *λ σν*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *z*3*i wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −2*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ* 2*σ* 1 *ν*(*ν* + 1) *n* ∑ *i*=1 *zi*(*z*2*i* − <sup>1</sup>)*wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −2*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) − *λ*<sup>3</sup> 2*σ ν* + 2 *ν*<sup>2</sup>(*ν* + 1) *n* ∑ *i*=1 *z*3*i* (*z*2*i* − <sup>1</sup>)*wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −<sup>2</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) − *λ*<sup>2</sup> 2*σν*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *z*2*i* (*z*2*i* − 1)1 + *z*2*iν* −<sup>3</sup>6*<sup>r</sup>*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1)7<sup>2</sup> + *λ* 2*πσ α* − 1 *ν*(*ν* + 1) *n* ∑ *i*=1 *z*2*i* (*z*2*i* − 1)1 + *z*2*iν* −<sup>1</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*3(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 <sup>2</sup>*πσ*(*ν* + 1) *λ* 1 + *λ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *zir*2(*zi*; *λ*, *<sup>ν</sup>*)*<sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 2*σ ν* + 1 *ν*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *z*3*i* 1 + *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) − *α* − 1 2*σ n* ∑ *i*=1 *zi* log1 + *z*2*iν <sup>r</sup>*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) − *α* − 1 2*σ n* ∑ *i*=1 *zi g*(*zi*, *ν*) F*ST*(*zi*, *λ*, *ν*)*<sup>r</sup>*2(*zi*; *λ*, *ν*)

$$\begin{split} \dot{j}\_{\lambda\lambda} &= \frac{\lambda(\nu+2)}{\nu} \sum\_{i=1}^{n} z\_i^3 w\_i \left(1 + \left(1 + \lambda^2\right) \frac{z\_i^2}{\nu}\right)^{-1} r\_1(\lambda z\_i w\_i; \nu+1) \\ &+ \frac{\nu+1}{\nu} \sum\_{i=1}^{n} z\_i \left(1 + \frac{z\_i^2}{\nu}\right)^{-1} \left[r\_1(\lambda z\_i w\_i; \nu+1)\right]^2 \\ &- \frac{2(\alpha - 1)}{\pi} \frac{\lambda}{(1 + \lambda^2)^2} \sum\_{i=1}^{n} \left(1 + \left(1 + \lambda^2\right) \frac{z\_i^2}{\nu}\right)^{-1} r\_3(z\_i; \lambda, \nu) \\ &- \frac{\alpha - 1}{\pi} \frac{\lambda}{1 + \lambda^2} \frac{\nu + 2}{\nu} \sum\_{i=1}^{n} z\_i^2 \left(1 + \left(1 + \lambda^2\right) \frac{z\_i^2}{\nu}\right)^{-1} r\_3(z\_i; \lambda, \nu) \\ &+ \frac{\alpha - 1}{\pi^2 (1 + \lambda^2)^2} \sum\_{i=1}^{n} \left[r\_3(z\_i; \lambda, \nu)\right]^2 \end{split}$$

*jλα* = 1 *π*(<sup>1</sup> + *λ*<sup>2</sup>) *n*∑*i*=1 *<sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*) *jλν* = − 1 <sup>2</sup>*ν*(*ν* + 1) *n*∑*i*=1 *zi*(*z*2*i* − <sup>1</sup>)*wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ*<sup>2</sup> 2*ν*<sup>2</sup> *ν* + 2 (*ν* + 1)<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *z*3*i* (*z*2*i* − <sup>1</sup>)*wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −<sup>1</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ* 2*ν*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *z*2*i* (*z*2*i* − 1)1 + *z*2*iν* −<sup>2</sup>6*<sup>r</sup>*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1)7<sup>2</sup> + *α* − 1 <sup>2</sup>*π*(*ν* + 1) 1 − *λ*<sup>2</sup> (1 + *λ*<sup>2</sup>)<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *<sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 <sup>2</sup>*π*(*ν* + 1) *λ* (1 + *λ*<sup>2</sup>)<sup>2</sup> *n*∑*<sup>i</sup>*=<sup>1</sup>6*<sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*)7<sup>2</sup> − *α* − 1 <sup>2</sup>*π*(*ν* + 1) *λ*<sup>2</sup> 1 + *λ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *z*2*i* 1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*3(*zi*; *λ*, *ν*) − *α* − 1 <sup>2</sup>*π*(<sup>1</sup> + *λ*<sup>2</sup>) *n* ∑ *i*=1 *g*(*zi*, *ν*) F*ST*(*zi*, *λ*, *ν*)*<sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*) − *α* − 1 2*π n* ∑ *i*=1 *g*1(*zi*, *ν*) F*ST*(*zi*, *λ*, *ν*)

*i*=1  *λ*, *ν*)

 $j\_{\alpha\alpha} = \frac{n}{a^2}$ 
$$\begin{split} j\_{\alpha\nu} &= -\frac{n}{2}\psi\left(\frac{\nu+1}{2}\right) + \frac{n}{2}\psi\left(\frac{\nu}{2}\right) + \frac{n}{2\nu} \\ &+ \frac{1}{2\pi(\nu+1)}\frac{\lambda}{1+\lambda^2} \sum\_{i=1}^n r\_3(z\_i;\lambda,\nu) - \frac{1}{2}\sum\_{i=1} \frac{g(z\_i,\nu)}{\mathcal{F}\_{ST}(z\_i,\lambda,\nu)} \end{split}$$

*i*=1

 + 1 +

*jνν* = − *nα* 2*ν*<sup>2</sup> − *nα*4 *<sup>ψ</sup>*1*<sup>ν</sup>* + 1 2 + *nα*4 *<sup>ψ</sup>*1*<sup>ν</sup>*2 − *ν* − 1 2*ν*<sup>3</sup> *n*∑*i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −1 + *ν* + 1 2*ν*<sup>3</sup> *n* ∑ *i*=1 *z*2*i* 1 + *z*2*iν* −2 + *λ* <sup>4</sup>(*ν* + 1)<sup>2</sup> 1 *ν*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *zi*(*z*2*i* − <sup>1</sup>)(*z*2*i* + 4*ν* + <sup>3</sup>)*wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −2*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) − *λ* <sup>4</sup>*ν*(*ν* + 1)*ψ<sup>ν</sup>* + 2 2 − *ψ<sup>ν</sup>* + 1 2 − 1 *ν* + 1 *n* ∑ *i*=1 *zi*(*z*2*i* − <sup>1</sup>)*wi*<sup>1</sup> + *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) − *λ*<sup>3</sup> <sup>4</sup>(*ν* + 1) *ν* + 2 *ν*<sup>3</sup> *n* ∑ *i*=1 *z*3*i* (*z*2*i* − 1)1 + *z*2*iν* −<sup>2</sup>1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ* <sup>4</sup>*ν*(*ν* + 1) *n* ∑ *i*=1 *zi*(*z*2*i* − 1)log1 + *<sup>λ</sup>*2*z*2*i ν* + *z*2*i <sup>r</sup>*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1) + *λ*<sup>2</sup> <sup>4</sup>*ν*<sup>3</sup>(*ν* + 1) *n* ∑ *i*=1 *z*2*i* (*z*2*i* − 1)<sup>2</sup>1 + *z*2*iν* −<sup>3</sup>6*<sup>r</sup>*1(*<sup>λ</sup>ziwi*; *ν* + 1)7<sup>2</sup> − *α* − 1 <sup>2</sup>*π*(*ν* + 1)<sup>2</sup> *λ* 1 + *λ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *<sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 <sup>4</sup>*π*(*ν* + 1) *λ ν n* ∑ *i*=1 *z*2*i* 1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν* −1*r*3(*zi*; *λ*, *ν*) − *α* − 1 <sup>4</sup>*π*(*ν* + 1) *λ* 1 + *λ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 log1 + .1 + *λ*<sup>2</sup>/ *z*2*iν <sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 <sup>4</sup>*π*(*ν* + 1) *λ* 1 + *λ*<sup>2</sup> *ψ<sup>ν</sup>* + 1 2 − *<sup>ψ</sup><sup>ν</sup>*2 − 1*ν n*∑*i*=1 *<sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*) − *α* − 1 <sup>2</sup>*π*(*ν* + 1) *λ* 1 + *λ*<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 *g*(*zi*, *ν*) F*ST*(*zi*, *λ*, *ν*)*<sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*) + *α* − 1 <sup>4</sup>*π*<sup>2</sup>(*ν* + 1)<sup>2</sup> *λ*<sup>2</sup> (1 + *λ*<sup>2</sup>)<sup>2</sup> *n* ∑ *i*=1 6*<sup>r</sup>*3(*zi*; *λ*, *ν*)7<sup>2</sup> + *α* − 1 4 *n* ∑ *i*=1 *g*(*zi*, *ν*) F*ST*(*zi*, *λ*, *ν*)2 − *α* − 1 2 *n*∑*i*=1 *g*2(*zi*, *ν*) F*ST*(*zi*, *λ*, *ν*)

where *g*(*z*; *ν*) is given in Equation (16), and *g*1(*<sup>z</sup>*; *ν*) and *g*2(*<sup>z</sup>*; *ν*) are given in Equations (A1) and (A3), respectively.

$$\begin{split} g\_{1}(\mathbf{x};\nu) &= \int\_{-\infty}^{\infty} \left\{ \frac{(\nu+1)s^{2}}{\nu(s^{2}+\nu)} - \log\left(1+\frac{s^{2}}{\nu}\right) \right\} \left\{ 1 + \frac{(1+\lambda^{2})s^{2}}{\nu} \right\}^{-\frac{\nu+2}{2}} ds \\ &\quad - \int\_{-\infty}^{\infty} \frac{s}{s^{2}+\nu} \left\{ 1 + \frac{(1+\lambda^{2})s^{2}}{\nu} \right\}^{-\frac{\nu+2}{2}} ds \\ &\quad + \int\_{-\infty}^{\infty} \frac{\lambda^{2}(\nu+2)s^{3}}{(s^{2}+\nu)(\nu+(1+\lambda^{2})s^{2})} \left\{ 1 + \frac{(1+\lambda^{2})s^{2}}{\nu} \right\}^{-\frac{\nu+2}{2}} ds \end{split} \tag{A1}$$

$$\begin{split} g\_{2}(\mathbf{x};\nu) &= \int\_{-\infty}^{\infty} \left\{ \frac{s^{2}(s^{2}\nu-2\nu-s^{2})}{\nu^{2}(s^{2}+\nu^{2})} + \frac{1}{2} \left[ \frac{(\nu+1)s^{2}}{\nu(s^{2}+\nu^{2})} - \log\left(1+\frac{s^{2}}{\nu}\right) \right]^{2} \right\} f\_{\rm ST}(\mathbf{s};\lambda,\nu) ds \\ &\quad + \frac{\lambda}{2\pi(\nu+1)} \int\_{-\infty}^{\infty} \frac{s(s^{2}-1)}{(s^{2}+\nu^{2})} \left\{ \frac{(\nu+1)s^{2}}{\nu(s^{2}+\nu^{2})} - \log\left(1+\frac{s^{2}}{\nu}\right) \right\} \\ &\quad \times \left\{ 1 + \frac{(1+\lambda^{2})s^{2}}{\nu} \right\}^{-\frac{\nu+2}{2}} ds \\ &\quad + \frac{\lambda}{\pi} \int\_{-\infty}^{\infty} \frac{s}{(s+\nu)^{2}} \left\{ 1 + \frac{(1+\lambda^{2})s^{2}}{\nu} \right\}^{-\frac{\nu+2}{2}} ds \\ &\quad + \frac{\lambda}{2\pi} \left( \Psi\left(\frac{\nu+1}{2}\right) - \Psi\left(\frac{\nu}{2}\right) - \frac{1}{\nu} \right) \int\_{-\infty}^{\infty} \frac{s}{s^{2}+\nu} \left\{ 1 + \frac{(1+\lambda^{2})s^{2}}{\nu} \right\}^{-\frac{\nu+2}{2}} ds \\ &\quad - \frac{\lambda}{2\pi} \int\_{-\infty}^{\infty} \frac{s}{s^{2}+\nu} \left\{ \frac{(\nu+2)(1+\lambda^{2})s^{2}}{\nu(\nu$$
