**4. The Main Theorem on Existence and Uniqueness of a Uniformly Bounded Solution of the Difference Scheme**

In the present section for the approximate solution of Equation (1) we will study the first order of accuracy difference scheme

$$\begin{aligned} \frac{\mu^{k+1} - 2\underline{u}^k + \underline{u}^{k-1}}{\tau^2} + Au^{k+1} &= f(t\_k, \underline{u}^k, \frac{\underline{u}^{k-N} - \underline{u}^{k-N-1}}{\tau}, \underline{u}^{k-N}), \\\\ t\_k &= k\tau, \; 1 \le k < \infty, \; N\tau = \omega, \\\\ \left(I + \tau^2 A\right) \frac{\underline{u}^{k+1} - \underline{u}^k}{\tau} &= \frac{\underline{u}^k - \underline{u}^{k-1}}{\tau}, \; k = mN, \; m = 0, 1, \dots, \end{aligned} \tag{28}$$
 
$$\underline{u}^k = q\_k, \; q\_k = q(t\_k), \; t\_k = k\tau, \; -N \le k \le 0.$$

The approach of proof of the theorem on the existence and uniqueness of a bounded solution of difference scheme (28) uniformly with respect to *τ* is based on reducing this difference scheme to an equivalent nonlinear equations. Equivalent nonlinear equations for the difference scheme (28) is

*u<sup>k</sup>* = ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ *<sup>ϕ</sup>*<sup>0</sup> <sup>+</sup> *<sup>τ</sup>RR*: *<sup>ϕ</sup>*0−*ϕ*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *k* = 1, *<sup>R</sup>k*−1+*R*:*k*−<sup>1</sup> <sup>2</sup> *ϕ*<sup>0</sup> + *τ R* − *R*: −<sup>1</sup> *<sup>R</sup><sup>k</sup>* <sup>−</sup> *<sup>R</sup>*:*<sup>k</sup> RR*: *<sup>ϕ</sup>*0−*ϕ*−<sup>1</sup> *τ* +*τ R* − *R*: <sup>−</sup><sup>1</sup> *<sup>k</sup>*−<sup>1</sup> ∑ *p*=1 *RR*: *<sup>R</sup>k*−*<sup>p</sup>* <sup>−</sup> *<sup>R</sup>*:*k*−*<sup>p</sup> f*(*tp*, *jup*, *ϕp*−*N*−*ϕp*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *ϕp*−*N*)*τ*, 2 ≤ *k* ≤ *N*, *<sup>u</sup>mN* <sup>+</sup> *<sup>τ</sup>RR*: *<sup>u</sup>mN*−*umN*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *k* = *mN* + 1, *<sup>R</sup>k*−*mN*−1+*R*:*k*−*mN*−<sup>1</sup> <sup>2</sup> *<sup>u</sup>mN* + *R* − *R*: −<sup>1</sup> *<sup>R</sup>k*−*mN* <sup>−</sup> *<sup>R</sup>*:*k*−*mN RR*: *<sup>u</sup>mN*−*umN*−<sup>1</sup> *τ* +*τ R* − *R*: <sup>−</sup><sup>1</sup> *<sup>k</sup>*−<sup>1</sup> ∑ *p*=*mN*+1 *RR*: *<sup>R</sup>k*−*<sup>p</sup>* <sup>−</sup> *<sup>R</sup>*:*k*−*<sup>p</sup> <sup>f</sup>*(*tp*, *<sup>u</sup>p*, *<sup>u</sup>p*−*N*−*up*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>u</sup>p*−*N*)*τ*, 2 + *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1)*N*, *m* = 1, 2, ··· (29)

in *<sup>C</sup><sup>τ</sup>* (*H*) and the use of successive approximations. Here and in future *<sup>R</sup>* = (*<sup>I</sup>* + *<sup>τ</sup>iA*<sup>1</sup> <sup>2</sup> )−1, *<sup>R</sup>*: = (*<sup>I</sup>* <sup>−</sup> *τiA*<sup>1</sup> <sup>2</sup> )−<sup>1</sup> and *<sup>C</sup><sup>τ</sup>* (*H*) = *<sup>C</sup>* ([0, <sup>∞</sup>)*<sup>τ</sup>* , *<sup>H</sup>*) stands for the Banach space of the mesh functions *<sup>v</sup><sup>τ</sup>* = \$ *vl* %<sup>∞</sup> *l*=0 defined on a grid space

$$(0, \infty)\_{\tau} = \{t\_k = k\tau, \ k = 0, 1, \dots, N\tau = w\}$$

with values in *H*, equipped with the norm

$$\|\|\boldsymbol{\upsilon}^{\mathsf{T}}\|\|\_{C\_{\mathsf{T}}(H)} = \sup\_{0 \le l < \infty} \left\|\|\boldsymbol{\upsilon}^{l}\|\right\|\_{H}.$$

The recursive formula for the solution of difference scheme (28) is

$$\begin{cases} \frac{j u^{k+1} - 2 j u^k + j u^{k-1}}{\tau^k} + A j u^{k+1} = f(t\_{k\prime} \ (j-1) u^k, \ \frac{j k^{-N} - \mu^{k-N-1}}{\tau}, \ u^{k-N}), \\\\ t\_k = k \tau, \ m N + 1 \le k \le (m+1) N, \ m = 0, 1, 2, \cdots, \ N \tau = \omega, \\\\ \left( I + \tau^2 A \right) \frac{j u^{k+1} - j u^k}{\tau} = \frac{j u^k - j u^{k-1}}{\tau}, \ k = m N, \ m = 1, \ldots, \\\\ u^k = q\_k, \ t\_k = k \tau, \ -N \le k \le 0, \\\\ j = 1, 2, \cdots, \ 0 \text{ $u$  is given for any } k. \end{cases} \tag{30}$$

From Equations (29) and (30) it follows

*ju<sup>k</sup>* = ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ *<sup>ϕ</sup>*<sup>0</sup> <sup>+</sup> *<sup>τ</sup>RR*: *<sup>ϕ</sup>*0−*ϕ*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *k* = 1, *<sup>R</sup>k*−1+*R*:*k*−<sup>1</sup> <sup>2</sup> *ϕ*<sup>0</sup> + *τ R* − *R*: −<sup>1</sup> *<sup>R</sup><sup>k</sup>* <sup>−</sup> *<sup>R</sup>*:*<sup>k</sup> RR*: *<sup>ϕ</sup>*0−*ϕ*−<sup>1</sup> *τ* +*τ R* − *R*: <sup>−</sup><sup>1</sup> *<sup>k</sup>*−<sup>1</sup> ∑ *p*=1 *RR*: *<sup>R</sup>k*−*<sup>p</sup>* <sup>−</sup> *<sup>R</sup>*:*k*−*<sup>p</sup> <sup>f</sup>*(*tp*, *jup*, *<sup>ϕ</sup>p*−*N*−*ϕp*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *ϕp*−*N*)*τ*, 2 ≤ *k* ≤ *N*, *<sup>u</sup>mN* <sup>+</sup> *<sup>τ</sup>RR*: *<sup>u</sup>mN*−*umN*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *k* = *mN* + 1, *<sup>R</sup>k*−*mN*−1+*R*:*k*−*mN*−<sup>1</sup> <sup>2</sup> *<sup>u</sup>mN* + *<sup>τ</sup> R* − *R*: −<sup>1</sup> *<sup>R</sup>k*−*mN* <sup>−</sup> *<sup>R</sup>*:*k*−*mN RR*: *<sup>u</sup>mN*−*umN*−<sup>1</sup> *τ* + *R* − *R*: −<sup>1</sup> *RR*: ×*τ k*−1 ∑ *p*=*mN*+1 *<sup>R</sup>k*−*<sup>p</sup>* <sup>−</sup> *<sup>R</sup>*:*k*−*<sup>p</sup> <sup>f</sup>*(*tp*,(*<sup>j</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>p*, *<sup>u</sup>p*−*N*−*up*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>u</sup>p*−*N*)*τ*, *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1)*N*, *m* = 1, 2, ···, *j* = 1, 2, ..., (31)

where

$$\begin{aligned} &0u^{k}=\begin{cases} \begin{aligned} \varrho\eta+\mathrm{R}\ddot{\mathbb{R}}\frac{\varrho\eta-\varrho-1}{\mathsf{T}}, \;k=1, \\\\ \frac{\mathbb{R}^{k-1}+\mathsf{R}^{k-1}}{2}\varrho\eta\_{0}+\tau\left(\mathrm{R}-\bar{\mathsf{R}}\right)^{-1}\left(\mathrm{R}^{k}-\bar{\mathsf{R}}^{k}\right)\boldsymbol{R}\ddot{\mathbb{R}}\frac{\varrho\eta-\varrho-1}{\mathsf{T}}, \\\\ \end{aligned} \\\\ \begin{aligned} \;2\leq k \leq N, \\\\ \;\mu^{mN}+\tau\mathrm{R}\ddot{\mathbb{R}}\frac{\mu^{mN}-\mu^{mN-1}}{\mathsf{T}}, \;k=mN+1, \\\\ \frac{\mathbb{R}^{k-mN-1}+\mathsf{R}^{k-mN-1}}{2}\mu^{mN}+\tau\left(\mathrm{R}-\bar{\mathsf{R}}\right)^{-1}\left(\mathbb{R}^{k-mN}-\bar{\mathsf{R}}^{k-mN}\right)\boldsymbol{R}\ddot{\mathbb{R}}\frac{\mu^{mN}-\mu^{mN-1}}{\mathsf{T}}, \;k=mN+1, \end{aligned} \end{aligned} \end{aligned} \end{aligned}$$

Let us give the lemma that will be needed below.

**Lemma 2.** *The following estimates hold:*

$$\|\|R\|\|\_{H\to H} \le 1,\ \|\|\tau AR\|\|\_{H\to H} \le 1,\ \|\|\tilde R\|\|\_{H\to H} \le 1,\ \|\|\tau A\|\tilde R\|\|\_{H\to H} \le 1,\tag{32}$$

$$\left\| \left\| \tau A (I + \tau^2 A^2)^{-1} \right\| \right\|\_{H \to H} \le 1. \tag{33}$$

The proof of Lemma 2 is based on the spectral representation of the self-adjoint positive definite operator in a Hilbert space (see, [50]).

**Theorem 8.** *Let the assumptions of Theorem 1 be satisfied. Then, there exists a unique solution u<sup>τ</sup>* = \$ *uk* %<sup>∞</sup> *k*=0 *of difference scheme (28) which is bounded in C<sup>τ</sup>* (*H*) *of uniformly with respect to τ.*

**Proof.** Step 1. Uniformly boundedness of solution of difference scheme (28) on [0, *w*]*τ*. Assume that 1 ≤ *k* ≤ *N*. According to the method of recursive approximation (31), we get

$$u^k = 0u^k + \sum\_{i=0}^{\infty} \left[ (i+1)u^k - iu^k \right],\tag{34}$$

where

×

$$0u^1 = qo + \tau R\tilde{R}\frac{q\rho\_0 - \rho\_1}{\tau},$$

$$0u^k = \frac{R^{k-1} + \tilde{R}^{k-1}}{2} qo\_0 + \tau \left(R - \tilde{R}\right)^{-1} \left(R^k - \tilde{R}^k\right) R\tilde{R}\frac{q\rho\_0 - \rho\_{-1}}{\tau}, \ 2 \le k \le N,\tag{35}$$

$$ju^1 = qo + \tau R\tilde{R}\frac{q\rho\_0 - \rho\_{-1}}{\tau}, \ j = 1, 2, \cdots, \tag{36}$$

$$ju^k = \frac{R^{k-1} + \tilde{R}^{k-1}}{2} qo\_0 + \tau \left(R - \tilde{R}\right)^{-1} \left(R^k - \tilde{R}^k\right) R\tilde{R}\frac{q\rho\_0 - \rho\_{-1}}{\tau} + \tau \left(R - \tilde{R}\right)^{-1}$$

$$\sum\_{p=1}^{k-1} R\tilde{R} \left(R^{k-p} - \tilde{R}^{k-p}\right) f(t\_p; ju^p, \frac{p\_{p-N} - q - p\_{p-N-1}}{\tau}, q\_{p-N})\tau, \ 2 \le k \le N, \ j = 1, 2, \cdots, \tag{36}$$

Applying formula (35), the triangle inequality and estimates (5), (32), and (33), we get

$$\begin{aligned} \left\| \boldsymbol{0} \boldsymbol{u}^{1} \right\|\_{\boldsymbol{H}} & \leq \left\| \boldsymbol{A}^{-1} \right\|\_{H \to H} \left[ \left\| \boldsymbol{A} \boldsymbol{q}\_{0} \right\|\_{H} + \left\| \boldsymbol{\tau} \boldsymbol{A}^{\frac{1}{2}} \boldsymbol{R} \tilde{\boldsymbol{R}} \right\|\_{H \to H} \left\| \boldsymbol{A}^{\frac{1}{2}} \frac{\boldsymbol{\varphi}\_{0} - \boldsymbol{\varphi}\_{-1}}{\boldsymbol{\tau}} \right\|\_{H} \right] \leq \delta^{-1} \left[ \boldsymbol{M} + \tilde{\boldsymbol{M}} \right], \\ & \quad \left\| \frac{\boldsymbol{0} \boldsymbol{u}^{1} - \boldsymbol{q}\_{0}}{\boldsymbol{\tau}} \right\|\_{H} \leq \left\| \boldsymbol{A}^{-1} \right\|\_{H} \boldsymbol{H} \boldsymbol{\tau} \boldsymbol{H} \left\| \boldsymbol{R} \tilde{\boldsymbol{R}} \right\|\_{H} \left\| \boldsymbol{A}^{\frac{1}{2}} \frac{\boldsymbol{\varphi}\_{0} - \boldsymbol{\varphi}\_{-1}}{\boldsymbol{\tau}} \right\|\_{H} \leq \delta^{-\frac{1}{2}} \tilde{\boldsymbol{M}}, \\ & \left\| \boldsymbol{\alpha}^{k} \right\|\_{H} \leq \left\| \boldsymbol{A}^{-1} \right\|\_{H} \boldsymbol{H} \boldsymbol{\tau} \boldsymbol{H} \left[ \frac{1}{2} \left\| \boldsymbol{\left} \boldsymbol{R} \right\|\_{H \to H}^{k-1} + \left\| \boldsymbol{\tilde{R}} \right\|\_{H \to H}^{k-1} \right\| \boldsymbol{\left} \boldsymbol{A}^{\frac{1}{2}} \boldsymbol{\eta}\_{0} \right\| + \frac{1}{2} \left\| \boldsymbol{\left$$

for any 2 ≤ *k* ≤ *N*. Applying formula (36), and estimates (6), (32), and (33), we get

$$\|1u^1 - 0u^1\|\_H = 0,$$

$$\|1u^k - 0u^k\|\_H \le \|A^{-\frac{1}{2}}\|\_{H \to H}$$

$$\times \sum\_{p=1}^{k-1} \frac{1}{2} \left[\|R\|\_{H \to H}^{k-p} + \left\|\tilde{R}\right\|\_{H \to H}^{k-p}\right] \|f(p\_{\nu}, 1u^p, \frac{\varphi\_{p-N} - \varphi\_{p-N-1}}{\pi}, \varphi\_{p-N})\|\_{H \pi} \le \delta^{-\frac{1}{2}} \tilde{M}t\_{k+1}$$

$$\left\|\frac{1u^1 - \varphi\_0}{\pi} - \frac{0u^1 - \varphi\_0}{\pi}\right\|\_H = 0,$$

$$\left\|\frac{1u^k - 1u^{k-1}}{\pi} - \frac{0u^k - 0u^{k-1}}{\pi}\right\|\_H$$

$$\le \sum\_{p=1}^{k-1} \frac{1}{2} \left[\|R\|\_{H \to H}^{k-p} + \left\|\tilde{R}\right\|\_{H \to H}^{k-p}\right] \|f(t\_{p}, 1u^p, \frac{\varphi\_{p-N} - \varphi\_{p-N-1}}{\pi}, \varphi\_{p-N})\|\_H \pi \le \tilde{M}t\_k$$

for any *k* = 2, ···, *N*. Using the triangle inequality, we get

$$\begin{aligned} \|\mathbf{1}u^k\|\_H &\leq \delta^{-1} \left[\mathcal{M} + \tilde{\mathcal{M}}\right] + \delta^{-\frac{1}{2}} \tilde{\mathcal{M}} t\_{k'} \\\\ \left\|\frac{\mathbf{1}u^k - \mathbf{1}u^{k-1}}{\tau}\right\|\_H &\leq \delta^{-\frac{1}{2}} \left[\mathcal{M} + \tilde{\mathcal{M}}\right] + \tilde{\mathcal{M}} t\_{k'} \end{aligned}$$

for any *k* = 1, ···, *N*. Applying formula (36), and estimates (7), (32), and (33), we get

2*u*<sup>1</sup> <sup>−</sup> <sup>1</sup>*u*1*<sup>H</sup>* <sup>=</sup> 0, 2*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>*uk<sup>H</sup>* ≤ *A*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *H*→*<sup>H</sup> k*−1 ∑ *p*=1 1 2 *R k*−*p <sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k*−*p H*→*H* × ) ) ) ) *f*(*tp*, 1*up*, *ϕp*−*<sup>N</sup>* − *ϕp*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>ϕ</sup>p*−*N*) <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(*tp*, 0*up*, *<sup>ϕ</sup>p*−*<sup>N</sup>* <sup>−</sup> *<sup>ϕ</sup>p*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>ϕ</sup>p*−*N*) ) ) ) ) *H τ* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *k*−1 ∑ *p*=1 *<sup>L</sup>*1*u<sup>p</sup>* <sup>−</sup> <sup>0</sup>*upH<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *k*−1 ∑ *p*=1 *<sup>L</sup>δ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *Mt* ¯ *<sup>p</sup><sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*−1*LM*¯ *<sup>t</sup>* 2 *k* 2!, ) ) ) ) <sup>2</sup>*u*<sup>1</sup> <sup>−</sup> <sup>2</sup>*u*<sup>0</sup> *<sup>τ</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>*u*<sup>1</sup> <sup>−</sup> <sup>1</sup>*u*<sup>0</sup> *τ* ) ) ) ) *H* = 0, ) ) ) ) ) <sup>2</sup>*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> <sup>2</sup>*uk*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>*uk*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) ) *H* ≤ *k*−1 ∑ *p*=1 1 2 *R k*−*p <sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k*−*p H*→*H* × ) ) ) ) *f*(*tp*, 1*up*, *ϕp*−*<sup>N</sup>* − *ϕp*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>ϕ</sup>p*−*N*) <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(*tp*, 0*up*, *<sup>ϕ</sup>p*−*<sup>N</sup>* <sup>−</sup> *<sup>ϕ</sup>p*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>ϕ</sup>p*−*N*) ) ) ) ) *H τ* ≤ *k*−1 ∑ *p*=1 *<sup>L</sup>*1*u<sup>p</sup>* <sup>−</sup> <sup>0</sup>*upH<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *k*−1 ∑ *p*=1 *<sup>L</sup>δ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *Mt* ¯ *<sup>p</sup><sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>M</sup>*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *δ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *Ltk* 2 2! ,

for any *k* = 2, ···, *N*. Using the triangle inequality, we get

$$\|\|2\mu^k\|\|\_{H} \le \delta^{-1} \left[\mathcal{M} + \tilde{\mathcal{M}}\right] + \delta^{-\frac{1}{2}} \tilde{\mathcal{M}} t\_k + \frac{\tilde{\mathcal{M}}}{L} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}} L t\_k\right)^2}{2!} \lambda$$

*Mathematics* **2019**, *7*, 1163

$$\left\| \left| \frac{2\mathfrak{u}^k - 2\mathfrak{u}^{k-1}}{\tau} \right| \right\|\_{H} \leq \delta^{-\frac{1}{2}} \left[ \mathcal{M} + \breve{\mathcal{M}} \right] + \breve{\mathcal{M}} t\_k + \frac{\breve{\mathcal{M}}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{\left( \delta^{-\frac{1}{2}} L t\_k \right)^2}{2!} $$

for any *k* = 1, ···, *N*. Let

$$\|nu^{k} - (n-1)u^{k}\|\_{H} \leq \frac{\tilde{M}}{L} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}}t\_{k})^{n}}{n!},$$

$$\left\|\frac{nu^{k} - nu^{k-1}}{\tau} - \frac{(n-1)u^{k} - (n-1)u^{k-1}}{\tau}\right\|\_{H} \leq \frac{\tilde{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}}t\_{k})^{n}}{n!},$$

$$\|nu^{k}\|\_{H} \leq \delta^{-1} \left[M + \tilde{M}\right] + \delta^{-\frac{1}{2}}\tilde{M}t\_{k} + \tilde{M}\frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}}Lt\_{k}\right)^{2}}{2!} + \dots + \frac{\tilde{M}}{L} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}}t\_{k})^{n}}{n!},$$

$$\left\|\frac{nu^{k} - nu^{k-1}}{\tau}\right\|\_{H} \leq \delta^{-\frac{1}{2}} \left[M + \tilde{M}\right] + \tilde{M}t\_{k}$$

$$+ \frac{\tilde{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}}Lt\_{k}\right)^{2}}{2!} + \dots + \frac{\tilde{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}}t\_{k})^{n}}{n!}$$

for any *k* = 1, ···, *N*. Applying formula (36), and estimates (7), (32), and (33), we get

 (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>*<sup>1</sup> <sup>−</sup> *nu*1*<sup>H</sup>* <sup>=</sup> 0, (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup><sup>k</sup>* <sup>−</sup> *nuk<sup>H</sup>* ≤ *A*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *H*→*<sup>H</sup> k*−1 ∑ *p*=1 1 2 *R k*−*p <sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k*−*p H*→*H* × ) ) ) ) *f*(*tp*, *nup*, *ϕp*−*<sup>N</sup>* − *ϕp*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>ϕ</sup>p*−*N*) <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(*tp*,(*<sup>n</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>p*, *ϕp*−*<sup>N</sup>* − *ϕp*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>ϕ</sup>p*−*N*) ) ) ) ) *H τ* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *k*−1 ∑ *p*=1 *<sup>L</sup>nu<sup>p</sup>* <sup>−</sup> (*<sup>n</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>pH<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *L k*−1 ∑ *p*=1 *M*¯ *L* (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *tp*)*<sup>n</sup> <sup>n</sup>*! *<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>M</sup>*¯ *L* (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *tk*)*n*+<sup>1</sup> (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)! , ) ) ) ) (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>*<sup>1</sup> <sup>−</sup> *nu*<sup>0</sup> *<sup>τ</sup>* <sup>−</sup> *nu*<sup>1</sup> <sup>−</sup> *nu*<sup>0</sup> *τ* ) ) ) ) *H* = 0, ) ) ) ) ) (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup><sup>k</sup>* <sup>−</sup> (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>k*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* <sup>−</sup> *nu<sup>k</sup>* <sup>−</sup> *nuk*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) ) *H* ≤ *k*−1 ∑ *p*=1 1 2 *R k*−*p <sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k*−*p H*→*H* × ) ) ) ) *f*(*tp*, *nup*, *ϕp*−*<sup>N</sup>* − *ϕp*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>ϕ</sup>p*−*N*) <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(*tp*, (*<sup>n</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>p*, *<sup>ϕ</sup>p*−*<sup>N</sup>* <sup>−</sup> *<sup>ϕ</sup>p*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>ϕ</sup>p*−*N*) ) ) ) ) *H τ* ≤ *k*−1 ∑ *p*=1 *<sup>L</sup>nu<sup>p</sup>* <sup>−</sup> (*<sup>n</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>pH<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *k*−1 ∑ *p*=1 *<sup>L</sup> <sup>M</sup>*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *tp*)*<sup>n</sup> <sup>n</sup>*! *<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>M</sup>*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *tk*)*n*+<sup>1</sup> (*n* + 1)!

for any *k* = 2, ···, *N*. Using the triangle inequality, we get

$$\|\|(n+1)u^k\|\|\_{H} \le \delta^{-1} \left[M + \tilde{M}\right] + \delta^{-\frac{1}{2}} \tilde{M}t\_k + \frac{\tilde{M}}{L} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}}Lt\_k\right)^2}{2!} + \dots + \frac{\tilde{M}}{L} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}}t\_k)^{n+1}}{(n+1)!},$$

$$\left\|\left|\frac{(n+1)u^k - (n+1)u^{k-1}}{\tau}\right|\right\|\_{H} \le \delta^{-\frac{1}{2}} \left[M + \tilde{M}\right] + \tilde{M}t\_k$$

*Mathematics* **2019**, *7*, 1163

$$+\frac{\bar{\mathcal{M}}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}}\frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}}Lt\_k\right)^2}{2!}+\cdots+\frac{\bar{\mathcal{M}}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}}\frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}}t\_k)^{n+1}}{(n+1)!}$$

for any *k* = 1, ···, *N*. Therefore, for any *n*, *n* ≥ 1, we have that

$$\|\left(\left(n+1\right)u^{k}-nu^{k}\|\right)\_{H}\leq\frac{\bar{\mathcal{M}}\left(L\delta^{-\frac{1}{2}}t\_{k}\right)^{n+1}}{L},$$

$$\left\|\left(\frac{\left(n+1\right)u^{k}-\left(n+1\right)u^{k-1}}{\tau}-\frac{nu^{k}-nu^{k-1}}{\tau}\right\|\right\|\_{H}\leq\frac{\bar{\mathcal{M}}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}}\frac{\left(L\delta^{-\frac{1}{2}}t\_{k}\right)^{n+1}}{\left(n+1\right)!}.$$

and

$$\|(n+1)u^k\|\_H \le \delta^{-1} \left[M + \tilde{M}\right] + \delta^{-\frac{1}{2}} \tilde{M} t\_k + \frac{\tilde{M}}{L} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}} L t\_k\right)^2}{2!} + \dots + \frac{\tilde{M}}{L} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}} t\_k)^{n+1}}{(n+1)!} \gamma$$

$$\left\|\frac{(n+1)u^k - (n+1)u^{k-1}}{\pi}\right\|\_H \le \delta^{-\frac{1}{2}} \left[M + \tilde{M}\right] + \tilde{M} t\_k$$

$$+ \frac{\tilde{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}} L t\_k\right)^2}{2!} + \dots + \frac{\tilde{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}} t\_k)^{n+1}}{(n+1)!}$$

for any *k* = 1, ···, *N* by mathematical induction. In a similar manner, for any *n*, we can obtain

$$||A^{\frac{1}{2}}(n+1)u^k - A^{\frac{1}{2}}nu^k||\_H \le \frac{\bar{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}}t\_k)^{n+1}}{(n+1)!}$$

and

$$\|\|(n+1)u^k\|\|\_H \le \delta^{-\frac{1}{2}} \left[M + \tilde{M}\right] + \bar{M}t\_k + \frac{\bar{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}}t)^2}{2!} + \dots + \frac{\bar{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}}t\_k)^{n+1}}{(n+1)!}.$$

From that and formula (34) it follows that

*uk<sup>H</sup>* <sup>≤</sup> ) ) ) 0*u<sup>k</sup>* ) ) ) *H* + ∞ ∑ *i*=0 ) ) )(*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> *iu<sup>k</sup>* ) ) ) *H* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*−<sup>1</sup> *M* + *M*: ! + ∞ ∑ *i*=0 *M*¯ *L* (*δ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *Ltk*)*i*+<sup>1</sup> (*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)! <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*−<sup>1</sup> *M* + *M*: ! + *M*¯ *L e δ* − 1 <sup>2</sup> *Ltk* , 1 <sup>≤</sup> *<sup>k</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>N</sup>*, ) ) ) ) ) *<sup>u</sup><sup>k</sup>* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>k*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) ) *H* ≤ ) ) ) ) ) <sup>0</sup>*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> <sup>0</sup>*uk*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) ) *H* + ∞ ∑ *i*=0 ) ) ) ) ) (*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> (*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)*uk*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* <sup>−</sup> *iu<sup>k</sup>* <sup>−</sup> *iuk*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) ) *H* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *M* + *M*: ! + ∞ ∑ *i*=0 *M*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *tk*)*i*+<sup>1</sup> (*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)! <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *M* + *M*: ! + *M*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *e δ* − 1 <sup>2</sup> *Ltk* , 1 <sup>≤</sup> *<sup>k</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>N</sup>*, ) ) ) *A*1 <sup>2</sup> *u<sup>k</sup>* ) ) ) *<sup>H</sup>* ≤ ) ) ) *A*1 <sup>2</sup> 0*u<sup>k</sup>* ) ) ) *H* + ∞ ∑ *i*=0 ) ) ) *A*1 <sup>2</sup> (*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> *<sup>A</sup>*<sup>1</sup> <sup>2</sup> *iu<sup>k</sup>* ) ) ) *H* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *M* + *M*: ! + ∞ ∑ *i*=0 *M*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *tk*)*i*+<sup>1</sup> (*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)! <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *M* + *M*: ! + *M*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *e δ* − 1 <sup>2</sup> *Ltk* , 1 <sup>≤</sup> *<sup>k</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>N</sup>*

which proves the existence of a bounded solution of difference scheme (28) in [0, *w*]*<sup>τ</sup>* × *H* of uniformly with respect to *τ*.

Step 2. Uniformly boundedness of solution of difference scheme (28) on [*mw*,(*m* + 1)*w*]*τ*. We consider solution of difference scheme (28) in *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1)*N*, *m* = 1, 2, .... Then, according to the method of recursive approximation (31), we get

$$u^k = 0u^k + \sum\_{i=0}^{\infty} \left[ (i+1)u^k - iu^k \right],\tag{37}$$

where

$$\begin{split} 0u^{mN+1} &= u^{mN+1} + \tau \mathbb{R} \mathbb{R} \overline{\mathbb{R}}^{m^{m} - \mathbb{W}^{mN-1}}, \\ 0u^{k} &= \frac{\mathbb{R}^{k-mN-1} + \overline{\mathbb{R}}^{k-mN-1}}{2} u^{mN}, \\ &+ \tau \left(R - \overline{\mathbb{R}}\right)^{-1} \left(\mathbb{R}^{k-mN} - \widetilde{\mathbb{R}}^{k-mN}\right) \mathbb{R} \widetilde{\mathbb{R}} \frac{u^{mN} - u^{mN-1}}{\tau}, \\ &\quad 2 + mN \le k \le (m+1)N, \quad m = 1, 2, \dots, \\ \dot{u}^{mN+1} &= u^{mN} + \tau R \overline{\mathbb{R}} \overline{\mathbb{R}}^{m^{m} - \mathbb{W}^{mN-1}}, \quad j = 1, 2, \dots, \\ \dot{u}^{k} &= \frac{\mathbb{R}^{k-mN-1} + \overline{\mathbb{R}}^{k-mN-1}}{2} u^{mN} + \tau \left(R - \overline{\mathbb{R}}\right)^{-1} \left(R^{k-mN} - \widetilde{\mathbb{R}}^{k-mN}\right) R \widetilde{\mathbb{R}} \frac{u^{mN} - u^{mN-1}}{\tau} \\ &+ \tau \left(R - \widetilde{\mathbb{R}}\right)^{-1} \sum\_{p=mN+1}^{k-1} R \widetilde{\mathbb{R}} \left(R^{k-p} - \widetilde{\mathbb{R}}^{k-p}\right) f(t\_{p\prime}(j-1)) u^{p}, \frac{u^{p\prime N} - u^{m\prime N-1}}{\tau}, u^{p\prime N}) \tau, \\ &\quad 2 + mN \le k \le (m+1)N, \quad m = 1, 2, \dots, \quad j = 1, 2, \$$

Assume that difference scheme (28) in [(*m* − 1) *N*, *mN*]*<sup>τ</sup>* × *H* of uniformly with respect to *τ* and

$$\|A^{1/2}u^k\|\_H \le M\_{m-1}, \quad \left\|\frac{u^k - u^{k-1}}{\tau}\right\|\_H \le \tilde{M}\_{m-1}.\tag{40}$$

Applying formula (38), the triangle inequality and estimates (32), (33), and (40), we get

) )0*umN*+<sup>1</sup> ) ) *<sup>H</sup>* ≤ *A*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *H*→*<sup>H</sup>* ) ) ) *A*1 <sup>2</sup> *umN* ) ) ) *H* + ) ) )*τA*<sup>1</sup> <sup>2</sup> *RR*: ) ) ) *H*→*H* ) ) ) *<sup>u</sup>mN*−*umN*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) *H* ! <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *Mm*−<sup>1</sup> + *M*: *<sup>m</sup>*−<sup>1</sup> ! , ) ) ) ) <sup>0</sup>*umN*+<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>u</sup>mN τ* ) ) ) ) *H* ≤ ) ) ) *RR*: ) ) ) *H*→*H* ) ) ) ) *<sup>u</sup>mN* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>mN*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) *H* ≤ *M*: *<sup>m</sup>*−1, ) ) ) 0*u<sup>k</sup>* ) ) ) *<sup>H</sup>* ≤ *A*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *H*→*<sup>H</sup>* 1 2 *Rk*−<sup>1</sup> *<sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k*−1 *H*→*H* ) ) ) *A*1 <sup>2</sup> *<sup>u</sup>mN*) ) ) *H* + 1 2 *R<sup>k</sup> <sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k H*→*H* × ) ) ) ) *<sup>u</sup>mN* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>mN*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) *H* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 ) ) ) *A*1 <sup>2</sup> *<sup>u</sup>mN*) ) ) *H* + ) ) ) ) *<sup>u</sup>mN* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>mN*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) *H* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *Mm*−<sup>1</sup> + *M*: *<sup>m</sup>*−<sup>1</sup> ! , ) ) ) ) ) <sup>0</sup>*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> <sup>0</sup>*uk*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) ) *H* ≤ 1 2 *Rk*−<sup>1</sup> *<sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k*−1 *H*→*H* ) ) ) *A*1 <sup>2</sup> *<sup>u</sup>mN*) ) ) *H* + 1 2 *R<sup>k</sup> <sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k H*→*H* × ) ) ) ) *<sup>u</sup>mN* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>mN*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) *H* ≤ ) ) ) *AumN*) ) ) *<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) ) *A*1 <sup>2</sup> *<sup>u</sup>mN* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>mN*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) *H* ≤ *Mm*−<sup>1</sup> + *M*: *<sup>m</sup>*−<sup>1</sup>

for any 2 + *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1) *N*. Applying formula (39), and estimates (6), (32) and (33), we get

$$\|\mathbf{1}u^{mN+1} - \mathbf{0}u^{mN+1}\|\_H = 0,$$

$$\begin{aligned} \|1u^k - 0u^k\|\_H &\le \|A^{-\frac{1}{2}}\|\_{H \to H} \sum\_{p=mN+1}^{k-1} \frac{1}{2} \left[ \|R\|\_{H \to H}^{k-p} + \left\|\bar{\mathcal{R}}\right\|\_{H \to H}^{k-p} \right] \\ &\times \left\| f(t\_{p\prime} \ (j-1)u^p, \frac{u^{p-N} - u^{p-N-1}}{\tau}, u^{p-N}) \right\|\_H \|\tau \le \delta^{-\frac{1}{2}} \bar{\mathcal{M}} \left(t\_k - mN\right), \end{aligned}$$

$$\left\| \frac{1u^{mN+1} - u^{mN}}{\tau} - \frac{0u^{mN+1} - u^{mN}}{\tau} \right\|\_{H} = 0,$$

$$\left\| \frac{1u^k - 1u^{k-1}}{\tau} - \frac{0u^k - 0u^{k-1}}{\tau} \right\|\_{H}$$

$$0 \le \sum\_{p=mN+1}^{k-1} \frac{1}{2} \left[ \left\| R \right\|\_{H \to H}^{k-p} + \left\| \ddot{R} \right\|\_{H \to H}^{k-p} \right] \left\| f(t\_{p\prime}, 1u^p, \frac{u^{p-N} - u^{p-N-1}}{\tau}, u^{p-N}) \right\|\_{H} \pi \le \tilde{M} \left( t\_k - mN \right)$$

for any 2 + *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1) *N*. Using the triangle inequality, we get

$$\begin{aligned} \|\mathbf{1}u^k\|\_H &\leq \delta^{-\frac{1}{2}} \left[\mathcal{M} + \tilde{\mathcal{M}}\right] + \delta^{-\frac{1}{2}} \tilde{\mathcal{M}}\left(t\_k - mN\right), \\\\ \left\|\frac{\mathbf{1}u^k - \mathbf{1}u^{k-1}}{\tau}\right\|\_H &\leq \mathcal{M}\_{m-1} + \tilde{\mathcal{M}}\_{m-1} + \tilde{\mathcal{M}}\left(t\_k - mN\right). \end{aligned}$$

for any 1 + *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1) *N*. Applying formula (39), and estimates (7), (32), and (33), we get

$$||2\mu^1 - 1\mu^1||\_H = 0\_\prime$$

2*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>*uk<sup>H</sup>* ≤ *A*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *H*→*<sup>H</sup> k*−1 ∑ *p*=*mN*+1 1 2 *R k*−*p <sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k*−*p H*→*H* × ) ) ) ) *f*(*tp*, 1*up*, *<sup>u</sup>p*−*<sup>N</sup>* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>p*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>u</sup>p*−*N*) <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(*tp*, 0*up*, *<sup>u</sup>p*−*<sup>N</sup>* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>p*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>u</sup>p*−*N*) ) ) ) ) *H τ* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *k*−1 ∑ *p*=*mN*+1 *<sup>L</sup>*1*u<sup>p</sup>* <sup>−</sup> <sup>0</sup>*upH<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *k*−1 ∑ *p*=*mN*+1 *<sup>L</sup>δ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *Mt* ¯ *<sup>p</sup>*−*mN<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*−1*LM*¯ (*tk* <sup>−</sup> *mN*) 2 2! , ) ) ) ) <sup>2</sup>*u*<sup>1</sup> <sup>−</sup> <sup>2</sup>*u*<sup>0</sup> *<sup>τ</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>*u*<sup>1</sup> <sup>−</sup> <sup>1</sup>*u*<sup>0</sup> *τ* ) ) ) ) *H* = 0, ) ) ) ) ) <sup>2</sup>*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> <sup>2</sup>*uk*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>*uk*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) ) *H* ≤ *k*−1 ∑ *p*=*mN*+1 1 2 *R k*−*p <sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k*−*p H*→*H* × ) ) ) ) *f*(*tp*, 1*up*, *<sup>u</sup>p*−*<sup>N</sup>* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>p*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>u</sup>p*−*N*) <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(*tp*, 0*up*, *<sup>u</sup>p*−*<sup>N</sup>* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>p*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>u</sup>p*−*N*) ) ) ) ) *H τ* ≤ *k*−1 ∑ *p*=*mN*+1 *<sup>L</sup>*1*u<sup>p</sup>* <sup>−</sup> <sup>0</sup>*upH<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *k*−1 ∑ *p*=*mN*+1 *<sup>L</sup>δ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *Mt* ¯ *<sup>p</sup>*−*mN<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>M</sup>*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *δ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *L* (*tk* − *mN*) 2 2!

for any 2 + *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1) *N*. Using the triangle inequality, we get

$$\begin{aligned} \|2u^{k}\|\_{H} &\leq \delta^{-\frac{1}{2}} \left[M + \tilde{M}\right] + \delta^{-\frac{1}{2}} \bar{M} \left(t\_{k} - mN\right) + \frac{\tilde{M}}{L} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}} L \left(t\_{k} - mN\right)\right)^{2}}{2!}, \\\\ \left\|\frac{2u^{k} - 2u^{k-1}}{\tau}\right\|\_{H} &\leq M\_{m-1} + \tilde{M}\_{m-1} + \bar{M} \left(t\_{k} - mN\right) + \frac{\tilde{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}} L \left(t\_{k} - mN\right)\right)^{2}}{2!}, \\\\ \text{which is } (m+1)M \text{ is } \end{aligned}$$

for any 1 + *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1) *N*. Let

$$||n\mu^k - (n-1)\mu^k||\_H \le \frac{\bar{\mathcal{M}}}{L} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}} \left(t\_k - mN\right))^n}{n!}.$$

*Mathematics* **2019**, *7*, 1163

$$\begin{aligned} \left\| \frac{nu^k - nu^{k-1}}{\tau} - \frac{(n-1)u^k - (n-1)u^{k-1}}{\tau} \right\|\_{H} &\leq \frac{\bar{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}} \left(t\_k - mN\right))^n}{n!}, \\ \|nu^k\|\_{H} &\leq \delta^{-1} \left[M\_{m-1} + \bar{M}\_{m-1}\right] + \delta^{-\frac{1}{2}}\bar{M} \left(t\_k - mN\right) \\ &+ \bar{M} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}}L\left(t\_k - mN\right)\right)^2}{2!} + \dots + \frac{\bar{M}}{L} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}} \left(t\_k - mN\right))^n}{n!}, \\ \left\| \frac{nu^k - nu^{k-1}}{\tau} \right\|\_{H} &\leq \delta^{-\frac{1}{2}} \left[M\_{m-1} + \bar{M}\_{m-1}\right] + \bar{M} \left(t\_k - mN\right) \\ &+ \frac{\bar{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}}L\left(t\_k - mN\right)\right)^2}{2!} + \dots + \frac{\bar{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}} \left(t\_k - mN\right))^n}{n!} \end{aligned}$$

for any 1 + *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1) *N*. Applying formula (39), and estimates (7), (32), and (33), we get

 (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>*<sup>1</sup> <sup>−</sup> *nu*1*<sup>H</sup>* <sup>=</sup> 0, (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup><sup>k</sup>* <sup>−</sup> *nuk<sup>H</sup>* ≤ *A*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *H*→*<sup>H</sup> k*−1 ∑ *p*=*mN*+1 1 2 *R k*−*p <sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k*−*p H*→*H* × ) ) ) ) *f*(*tp*, *nup*, *<sup>u</sup>p*−*<sup>N</sup>* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>p*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>u</sup>p*−*N*)) <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(*tp*, (*<sup>n</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>p*, *<sup>u</sup>p*−*<sup>N</sup>* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>p*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>u</sup>p*−*N*) ) ) ) ) *H τ* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *k*−1 ∑ *p*=*mN*+1 *<sup>L</sup>nu<sup>p</sup>* <sup>−</sup> (*<sup>n</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>pH<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *L k*−1 ∑ *p*=*mN*+1 *M*¯ *L* (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *tp*−*mN*)*<sup>n</sup> <sup>n</sup>*! *<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>M</sup>*¯ *L* (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> (*tk* <sup>−</sup> *mN*))*n*+<sup>1</sup> (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)! , ) ) ) ) (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>*<sup>1</sup> <sup>−</sup> *nu*<sup>0</sup> *<sup>τ</sup>* <sup>−</sup> *nu*<sup>1</sup> <sup>−</sup> *nu*<sup>0</sup> *τ* ) ) ) ) *H* = 0, ) ) ) ) ) (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup><sup>k</sup>* <sup>−</sup> (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>k*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* <sup>−</sup> *nu<sup>k</sup>* <sup>−</sup> *nuk*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) ) *H* ≤ *k*−1 ∑ *p*=1 1 2 *R k*−*p <sup>H</sup>*→*<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ) ) ) *R*: ) ) ) *k*−*p H*→*H* × ) ) ) ) *f*(*tp*, *nup*, *<sup>u</sup>p*−*<sup>N</sup>* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>p*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>u</sup>p*−*N*)) <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(*tp*, (*<sup>n</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>p*, *<sup>u</sup>p*−*<sup>N</sup>* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>p*−*N*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* , *<sup>u</sup>p*−*N*) ) ) ) ) *H τ* ≤ *k*−1 ∑ *pmN*+1 *<sup>L</sup>nu<sup>p</sup>* <sup>−</sup> (*<sup>n</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>) *<sup>u</sup>pH<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *k*−1 ∑ *p*=*mN*+1 *<sup>L</sup> <sup>M</sup>*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *tp*−*mN*)*<sup>n</sup> <sup>n</sup>*! *<sup>τ</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>M</sup>*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> (*tk* <sup>−</sup> *mN*))*n*+<sup>1</sup> (*n* + 1)!

for any 2 + *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1) *N*. Using the triangle inequality, we get

$$\begin{aligned} \|(n+1)u^k\|\_H &\leq \delta^{-\frac{1}{2}} \left[M\_{m-1} + \tilde{M}\_{m-1}\right] + \delta^{-\frac{1}{2}} \tilde{M} \left(t\_k - mN\right) \\ &+ \tilde{M} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}}L\left(t\_k - mN\right)\right)^2}{2!} + \dots + \frac{\tilde{M}}{L} \frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}}(t\_k - mN))^{n+1}}{(n+1)!}, \\ \left\|\frac{(n+1)u^k - (n+1)u^{k-1}}{\tau}\right\|\_H &\leq M\_{m-1} + \tilde{M}\_{m-1} + \tilde{M} \left(t\_k - mN\right). \end{aligned}$$

$$+\frac{\bar{\mathcal{M}}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}}\frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}}L\left(t\_k - mN\right)\right)^2}{2!} + \dots + \frac{\bar{\mathcal{M}}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}}\frac{(L\delta^{-\frac{1}{2}}\left(t\_k - mN\right))^{n+1}}{(n+1)!}$$

for any 1 + *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1) *N*. Therefore, for any *n*, *n* ≥ 1, we have that

$$\|\left(\left(n+1\right)u^{k}-nu^{k}\right\|\_{H}\leq\frac{\bar{M}\left(L\delta^{-\frac{1}{2}}\left(t\_{k}-mN\right)\right)^{n+1}}{\left(n+1\right)!},$$

$$\left\|\left(\frac{\left(n+1\right)u^{k}-\left(n+1\right)u^{k-1}}{\tau}-\frac{nu^{k}-nu^{k-1}}{\tau}\right\|\_{H}\leq\frac{\bar{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}}\frac{\left(L\delta^{-\frac{1}{2}}\left(t\_{k}-mN\right)\right)^{n+1}}{\left(n+1\right)!}.$$

and

$$\begin{aligned} \|(n+1)u^{k}\|\_{H} &\leq \delta^{-\frac{1}{2}} \left[M\_{m-1} + \tilde{M}\_{m-1}\right] + \delta^{-\frac{1}{2}}\tilde{M}\left(t\_{k} - mN\right) \\ &+ \frac{\tilde{M}}{L} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}}L\left(t\_{k} - mN\right)\right)^{2}}{2!} + \dots + \frac{\tilde{M}}{L} \frac{\left(L\delta^{-\frac{1}{2}}\left(t\_{k} - mN\right)\right)^{n+1}}{(n+1)!}, \\ \left\|\frac{\left(n+1\right)u^{k} - (n+1)u^{k-1}}{\tau}\right\|\_{H} &\leq M\_{m-1} + \tilde{M}\_{m-1} + \bar{M}\left(t\_{k} - mN\right) \\ &+ \frac{\bar{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{\left(\delta^{-\frac{1}{2}}L\left(t\_{k} - mN\right)\right)^{2}}{2!} + \dots + \frac{\bar{M}}{L\delta^{-\frac{1}{2}}} \frac{\left(L\delta^{-\frac{1}{2}}\left(t\_{k} - mN\right)\right)^{n+1}}{(n+1)!}. \end{aligned}$$

for any 1 + *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1) *N* by mathematical induction. From that and formula (37) it follows that ∞

*uk<sup>H</sup>* <sup>≤</sup> ) ) ) 0*u<sup>k</sup>* ) ) ) *<sup>H</sup>* <sup>+</sup> ∑ *i*=0 ) ) )(*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> *iu<sup>k</sup>* ) ) ) *H* <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *Mm*−<sup>1</sup> + *M*: *<sup>m</sup>*−<sup>1</sup> ! + ∞ ∑ *i*=0 *M*¯ *L* (*δ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> *<sup>L</sup>* (*tk* <sup>−</sup> *mN*))*i*+<sup>1</sup> (*i* + 1)! <sup>≤</sup> *<sup>δ</sup>*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *Mm*−<sup>1</sup> + *M*: *<sup>m</sup>*−<sup>1</sup> ! + *M*¯ *L e δ* − 1 <sup>2</sup> *L*(*tk*−*mN*) , ) ) ) ) ) *<sup>u</sup><sup>k</sup>* <sup>−</sup> *<sup>u</sup>k*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) ) *H* ≤ ) ) ) ) ) <sup>0</sup>*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> <sup>0</sup>*uk*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) ) *H* + ∞ ∑ *i*=0 ) ) ) ) ) (*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> (*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)*uk*−<sup>1</sup> *<sup>τ</sup>* <sup>−</sup> *iu<sup>k</sup>* <sup>−</sup> *iuk*−<sup>1</sup> *τ* ) ) ) ) ) *H* ≤ *Mm*−<sup>1</sup> + *M*: *<sup>m</sup>*−<sup>1</sup> + ∞ ∑ *i*=0 *M*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> (*tk* <sup>−</sup> *mN*))*i*+<sup>1</sup> (*i* + 1)! ≤ *Mm*−<sup>1</sup> + *M*: *<sup>m</sup>*−<sup>1</sup> + *M*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *e δ* − 1 <sup>2</sup> *L*(*tk*−*mN*) , ) ) ) *A*1 <sup>2</sup> *u<sup>k</sup>* ) ) ) *<sup>H</sup>* ≤ ) ) ) *A*1 <sup>2</sup> 0*u<sup>k</sup>* ) ) ) *H* + ∞ ∑ *i*=0 ) ) ) *A*1 <sup>2</sup> (*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)*u<sup>k</sup>* <sup>−</sup> *<sup>A</sup>*<sup>1</sup> <sup>2</sup> *iu<sup>k</sup>* ) ) ) *<sup>H</sup>* <sup>≤</sup> *Mm*−<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>M</sup>*: *<sup>m</sup>*−<sup>1</sup> + ∞ ∑ *i*=0 *M*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 (*Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> <sup>2</sup> (*tk* <sup>−</sup> *mN*))*i*+<sup>1</sup> (*<sup>i</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>)! <sup>≤</sup> *Mm*−<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>M</sup>*: *<sup>m</sup>*−<sup>1</sup> <sup>+</sup> *M*¯ *Lδ*<sup>−</sup> <sup>1</sup> 2 *e δ* − 1 <sup>2</sup> *L*(*tk*−*mN*)

for any 1 + *mN* ≤ *k* ≤ (*m* + 1) *N* which proves the existence of a bounded solution of difference scheme (28) in [*mω*,(*m* + 1) *w*]*<sup>τ</sup>* × *H* of uniformly with respect to *τ*.

*Mathematics* **2019**, *7*, 1163

Step 3. Uniqueness of solution of difference scheme (28). We prove uniqueness of the uniformly bounded solution of problem (28). Suppose that there is a bounded solution *v<sup>τ</sup>* = \$ *vk* %<sup>∞</sup> *<sup>k</sup>*=<sup>0</sup> of problem (28) and *<sup>v</sup><sup>τ</sup>* <sup>=</sup> *<sup>u</sup>τ*. Denoting *<sup>z</sup><sup>τ</sup>* <sup>=</sup> *<sup>v</sup><sup>τ</sup>* <sup>−</sup> *<sup>u</sup><sup>τ</sup>* and using Equation (28), we get

$$\begin{cases} \begin{cases} \frac{\tau^{k+1} - 2\tau^k + \tau^{k-1}}{\tau^2} + Az^{k+1} \\\\ \end{cases} \\\\ \begin{cases} = f(t\_k, v^k, \frac{v^{k-N} - v^{k-N-1}}{\tau}, v^{k-N}) - f(t\_k, u^k, \frac{u^{k-N} - u^{k-N-1}}{\tau}, u^{k-N}), & k \ge 1, \end{cases} \\\\ \begin{cases} \left(I + \tau^2 A\right) \frac{z^{k+1} - z^k}{\tau} = \frac{z^k - z^{k-1}}{\tau}, \; k = mN, \; m = 1, \dots \\\\ z^k = 0, \quad -N \le k \le 0 \end{cases} \end{cases}$$

for *<sup>z</sup>τ*. We consider the interval 1 <sup>≤</sup> *<sup>k</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>N</sup>*. Since *<sup>v</sup>k*−*<sup>N</sup>* <sup>=</sup> *<sup>u</sup>k*−*<sup>N</sup>* <sup>=</sup> *<sup>ϕ</sup>*(*tk*−*N*), we have that

$$\begin{cases} \begin{aligned} \frac{z^{k+1} - 2z^k + z^{k-1}}{\tau^2} + Az^{k+1} \\\\ \end{aligned} \end{cases} = f(t\_{k\prime}v^k, \frac{q\_{k-N} - q\_{k-N-1}}{\tau}, q\_{k-N}) - f(t\_{k\prime}u^k, \frac{q\_{k-N} - q\_{k-N-1}}{\tau}, q\_{k-N}), \ 1 \le k \le N, \\\\ \left(I + \tau^2 A\right)z^1 = 0, z^0 = 0. \end{aligned} $$

Therefore,

$$\|z^k\|\_H \le \|A^{-\frac{1}{2}}\|\_{H \to H} \sum\_{p=1}^{k-1} \frac{1}{2} \left[\|R\|\_{H \to H}^{k-p} + \left\|\tilde{R}\right\|\_{H \to H}^{k-p}\right]$$

$$\times \left\|f(t\_{k\prime}v^k, \frac{\varphi\_{k-N} - \varphi\_{k-N-1}}{\tau}, \varphi\_{k-N}) - f(t\_k, u^k, \frac{\varphi\_{k-N} - \varphi\_{k-N-1}}{\tau}, \varphi\_{k-N})\right\|\_H \ge.$$

Applying estimates estimates (7), (32), and (33), we get

$$||z^k||\_H \le \delta^{-\frac{1}{2}}L \sum\_{m=1}^{k-1} ||z^m||\_H \pi.$$

Using the discrete analogy of the integral inequality, we get

$$\|z^k\|\_H \le 0.$$

From that it follows that *<sup>z</sup><sup>k</sup>* <sup>=</sup> 0, 1 <sup>≤</sup> *<sup>k</sup>* <sup>≤</sup> *<sup>N</sup>* which proves the uniqueness of a bounded solution of problem (28) in [0, *w*]*<sup>τ</sup>* × *H* of uniformly with respect to *τ*. Using the same method and mathematical induction, we can prove the uniqueness of a bounded solution of problem (28) in [*mω*,(*m* + 1) *w*]*<sup>τ</sup>* × *H* of uniformly with respect to *τ*. Theorem 8 is proved.
