**Appendix E. Proof of Theorem 3**

$$\begin{aligned} &\text{The following inequalities ensures the proof of first part of Theorem 3:}\\ \theta\_r^T - \theta\_m^T &= \frac{(a - c\_m) Z \mathbf{x}^2 (\mathcal{N} \mathbf{x}^2 \mathbf{x} + (2(\mathbf{X}^2 + 4\mathbf{x})\mathbf{N}\_2 + \mathbf{M}\_4^2)\lambda\_2)}{\Delta y \Delta y} > 0; \boldsymbol{\mu}\_r^T - \boldsymbol{\mu}\_m^T &= \frac{\lambda\_2^2 \lambda\_2 + \pi (8\mathbf{x}\lambda\_2 - Z^2 \mathbf{N}\_2)}{2(\lambda\_2 + \pi)\mathbf{N}\_3 \lambda\_2} > 0\\ \boldsymbol{\pi}\_r^T - \boldsymbol{\pi}\_m^T &= \frac{(a - c\_m) \mathcal{X} (\mathcal{N} \mathbf{y}\_2 \mathbf{Z}^2 \mathbf{x} (\mathcal{M}\_2 \mathbf{x} + 2\mathbf{N}\_1 \lambda\_2) + \mathbf{N}\_2 \lambda\_2 (2\pi (2\mathbf{M}\_1 \mathbf{x} - 2\mathbf{X}^2 \mathbf{M}\_2 + (7\mathbf{N}\_1 - 2\mathbf{X}^2)\lambda\_2) + 3\mathbf{X}^4 \lambda\_2))}{2\lambda\_3 \Delta y} > 0;\\ \boldsymbol{\pi}\_{\mathcal{S}^T}^T - \boldsymbol{\pi}\_{\mathcal{S}^m}^T &= \frac{(a - c\_m)^2 \kappa (\mathbf{X}^4 \mathbf{\hat{A}}\_1^2 + \mathbf{X}^2 \mathbf{z}^2 (\mathbf{Z}^4 + 4\mathbf{A} \mathbf{\hat{A}}\_2^2) + 2\mathbf{Z}^2 \kappa (\mathbf{N}\_4 (\mathbf{A} + 4\mathbf{x}) \lambda\_2 + (\mathbf{M}\_3 - 6\mathbf{Z}^2)\mathbf{x}^2))}{4\lambda\_3 \Delta y} > 0. \end{aligned}$$

Differentiating optimal decisions in Propositions 5 and 6, with respect to *λ*<sup>1</sup> and *λ*2, the following relations are obtained:

*dτ<sup>T</sup> m <sup>d</sup>λ*<sup>1</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>2(*a*−*cm*)*N*4*N*5*XZκλ*<sup>2</sup> <sup>Δ</sup>3*m*<sup>2</sup> <sup>&</sup>lt; 0; *<sup>d</sup>τ<sup>T</sup> m <sup>d</sup>λ*<sup>2</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>(*a*−*cm*)*N*4*N*5*XZ*2*<sup>κ</sup>* <sup>Δ</sup>3*m*<sup>2</sup> <sup>&</sup>lt; 0; *<sup>d</sup>θ<sup>T</sup> m <sup>d</sup>λ*<sup>1</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>(*a*−*cm*)*N*2*κ*(2*N*2*Z*2*κ*+Δ3*m*) <sup>Δ</sup>3*m*<sup>2</sup> <sup>&</sup>lt; 0; *dθ<sup>T</sup> m <sup>d</sup>λ*<sup>2</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>(*a*−*cm*)*N*<sup>4</sup> <sup>2</sup>*N*5*Zκ* <sup>Δ</sup>3*m*<sup>2</sup> <sup>&</sup>lt; 0; *<sup>d</sup>π<sup>T</sup> gm <sup>d</sup>λ*<sup>1</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>2(*a*−*cm*)2*N*<sup>5</sup> <sup>2</sup>*Zκ*2*λ*<sup>2</sup> <sup>Δ</sup>3*m*<sup>2</sup> <sup>&</sup>lt; 0; *<sup>d</sup>π<sup>T</sup> gm <sup>d</sup>λ*<sup>2</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>(*a*−*cm*)2*N*<sup>5</sup> <sup>2</sup>*Z*2*κ*<sup>2</sup> <sup>Δ</sup>3*m*<sup>2</sup> <sup>&</sup>lt; 0; *dτ<sup>T</sup> r <sup>d</sup>λ*<sup>1</sup> <sup>=</sup> <sup>2</sup>(*a*−*cm*)*Xκ*(2*κ*2+9*N*1*κ*+*X*4)*Zλ*<sup>2</sup> Δ3*<sup>r</sup>* <sup>2</sup> <sup>&</sup>lt; 0; *<sup>d</sup>τ<sup>T</sup> r <sup>d</sup>λ*<sup>2</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>(*a*−*cm*)(*N*2+*κ*)*N*2*Z*2*X<sup>κ</sup>* Δ3*<sup>r</sup>* <sup>2</sup> < 0; *dθ<sup>T</sup> r <sup>d</sup>λ*<sup>1</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>(*a*−*cm*)*κ*(*N*<sup>2</sup> <sup>2</sup>*λ*2+*N*3*Z*2*κ*)(*N*2+*κ*) Δ3*<sup>r</sup>* <sup>2</sup> <sup>&</sup>lt; 0; *<sup>d</sup>θ<sup>T</sup> r <sup>d</sup>λ*<sup>2</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>(*a*−*cm*)(*N*2+*κ*)*N*<sup>2</sup> <sup>2</sup>*Zκ* Δ3*<sup>r</sup>* <sup>2</sup> < 0; *dπ<sup>T</sup> gr <sup>d</sup>λ*<sup>1</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>2(*a*−*cm*)2(*N*2+*κ*)2*Zκ*2*λ*<sup>2</sup> Δ3*<sup>r</sup>* <sup>2</sup> <sup>&</sup>lt; 0; *<sup>d</sup>π<sup>T</sup> gr <sup>d</sup>λ*<sup>2</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>(*a*−*cm*)2(*N*2+*κ*)2*Z*2*κ*<sup>2</sup> Δ3*<sup>r</sup>* <sup>2</sup> < 0. The above inequalities supports the claim in Theorem 3.

#### **Appendix F. Proof of Theorem 4**

Differences among GLs under the MS game are found as follows: *θC <sup>m</sup>* − *<sup>θ</sup>RE <sup>m</sup>* <sup>=</sup> <sup>6</sup>(*a*−*cm*)*Zκλ*2(6*κλ*2+Δ1) <sup>Δ</sup>1Δ2*<sup>m</sup>* <sup>&</sup>gt; 0; *<sup>θ</sup><sup>C</sup> <sup>m</sup>* − *<sup>θ</sup><sup>T</sup> <sup>m</sup>* <sup>=</sup> <sup>36</sup>(*a*−*cm*)*κ*3*Zλ*<sup>2</sup> <sup>Δ</sup>1Δ3*<sup>m</sup>* > 0. Similarly, differences among GLs under the RS game are found as follows: *θC <sup>r</sup>* − *<sup>θ</sup>RE <sup>r</sup>* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)*Z*(4*κλ*2+Δ1)(2*κλ*2+Δ1) <sup>2</sup>Δ1Δ2*<sup>r</sup>* <sup>&</sup>gt; 0; *<sup>θ</sup><sup>C</sup> <sup>r</sup>* − *<sup>θ</sup><sup>T</sup> <sup>r</sup>* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)*κ*2*Z*(4*κλ*2+Δ1) <sup>Δ</sup>1Δ3*<sup>r</sup>* > 0. Differences among sales volumes under the MS game are found as follows: *Q<sup>C</sup> <sup>m</sup>* − *<sup>Q</sup>RE <sup>m</sup>* <sup>=</sup> <sup>12</sup>(*a*−*cm*)*κλ*<sup>2</sup> <sup>2</sup>(6*κλ*2+Δ1) <sup>2</sup>Δ1Δ2*<sup>m</sup>* <sup>&</sup>gt; 0; *<sup>Q</sup><sup>C</sup> <sup>m</sup>* − *<sup>Q</sup><sup>T</sup> <sup>m</sup>* <sup>=</sup> <sup>12</sup>(*a*−*cm*)*κ*2*λ*2(6*κλ*2+Δ1) <sup>2</sup>Δ1Δ2*<sup>m</sup>* > 0. Differences among sales volumes under the RS game are found as follows: *Q<sup>C</sup> <sup>r</sup>* − *<sup>Q</sup>RE <sup>r</sup>* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)*λ*2(4*κ*−*λ*2+Δ1)(2*κ*−*λ*2+Δ1) <sup>Δ</sup>1Δ2*<sup>r</sup>* <sup>&</sup>gt; 0; *<sup>Q</sup><sup>C</sup> <sup>r</sup>* − *<sup>Q</sup><sup>T</sup> <sup>r</sup>* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)*κ*(4*κ*−*λ*2+Δ1)(2*κ*−*λ*2+Δ1) <sup>Δ</sup>1Δ3*<sup>r</sup>* > 0. The above relations ensure the claim in Theorem 4.

#### **Appendix G. Proof of Theorem 5**

The profit differences for the manufacturer in three subsidy policies are obtained as follows: *π<sup>C</sup> mm* − *<sup>π</sup>RE mm* <sup>=</sup> <sup>6</sup>(*a*−*cm*)2*κλ*<sup>2</sup> <sup>2</sup>(2*M*4*κ*Δ1+*λ*2Δ3*m*) Δ1 <sup>2</sup>Δ2*<sup>m</sup>* > 0; *π<sup>C</sup> mm* − *<sup>π</sup><sup>T</sup> mm* <sup>=</sup> <sup>6</sup>(*a*−*cm*)2*κ*2*λ*2(6*κλ*2+Δ1)Δ1+*λ*2Δ3*m*) Δ1 <sup>2</sup>Δ3*<sup>m</sup>* > 0; *π<sup>C</sup> mr* − *<sup>π</sup>RE mr* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)2*λ*2(4*κλ*2+Δ1)(3*Z*4*κ*2+(18*κN*1+*X*4)*λ*<sup>2</sup> <sup>2</sup>+2*κλ*2(*M*1*κ*−2*Z*2(*N*2+*κ*))) 4Δ<sup>1</sup> <sup>2</sup>Δ2*<sup>r</sup>* > 0; *π<sup>C</sup> mr* − *<sup>π</sup><sup>T</sup> mr* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)2*κ*(4*κλ*2+Δ1)(Δ<sup>1</sup> <sup>2</sup>+2Δ1(*N*3+*κ*)*λ*2+8*κ*2*λ*<sup>2</sup> 2) 4Δ<sup>1</sup> <sup>2</sup>Δ3*<sup>r</sup>* > 0. Similarly, the profit differences for the retailer in three subsidy policies are obtained as follows: *π<sup>C</sup> rm* − *<sup>π</sup>RE rm* <sup>=</sup> <sup>48</sup>(*a*−*cm*)2*κ*2*λ*<sup>2</sup> <sup>3</sup>(Δ1+6*κλ*2)(*M*<sup>1</sup> <sup>2</sup>*κ*+*λ*2(11Δ1+*Z*2(*X*2+2*κ*)+14*κλ*2))

Δ1 <sup>2</sup>Δ2*m*<sup>2</sup> <sup>&</sup>gt; 0; *π<sup>C</sup> rm* − *<sup>π</sup><sup>T</sup> rm* <sup>=</sup> <sup>48</sup>(*a*−*cm*)2*κ*3*λ*<sup>2</sup> <sup>2</sup>(*N*<sup>4</sup> <sup>2</sup>*λ*2((*κ*+*X*2)*λ*2+2Δ1)+(*N*4+3*κ*)*κ*2*Z*<sup>2</sup> Δ1 <sup>2</sup>Δ3*m*<sup>2</sup> <sup>&</sup>gt; 0; *π<sup>C</sup> rr* − *<sup>π</sup>RE rr* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)2*λ*2(Δ1+4*κλ*2)(Δ<sup>1</sup> <sup>2</sup>−2*Z*2*κ*Δ1+2Δ1(*N*3+*X*2+*κ*)*λ*2+8*κ*2*λ*<sup>2</sup> 2) Δ1 <sup>2</sup>Δ2*<sup>r</sup>* > 0; *π<sup>C</sup> rr* − *<sup>π</sup><sup>T</sup> rr* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)2*κ*(4*κλ*2+Δ1)(Δ<sup>1</sup> <sup>2</sup>+2Δ1(*N*3+*κ*)*λ*2+8*κ*2*λ*<sup>2</sup> 2) 2Δ<sup>1</sup> <sup>2</sup>Δ3*<sup>r</sup>* > 0; Finally, the differences among used product return rates are obtained as follows: *τC <sup>m</sup>* − *<sup>τ</sup>RE <sup>m</sup>* <sup>=</sup> <sup>36</sup>(*a*−*cm*)*Xκλ*<sup>2</sup> 3 <sup>Δ</sup>1Δ2*<sup>m</sup>* <sup>&</sup>gt; 0; *<sup>τ</sup><sup>C</sup> <sup>m</sup>* − *<sup>τ</sup><sup>T</sup> <sup>m</sup>* <sup>=</sup> <sup>6</sup>(*a*−*cm*)*Xκλ*2(6*κλ*2+Δ1) <sup>Δ</sup>1Δ3*<sup>m</sup>* > 0; *τC <sup>r</sup>* − *<sup>τ</sup>RE <sup>r</sup>* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)*Xλ*<sup>2</sup> <sup>2</sup>(4*κλ*2+Δ1) <sup>Δ</sup>1Δ2*<sup>r</sup>* <sup>&</sup>gt; 0; *<sup>τ</sup><sup>C</sup> <sup>r</sup>* − *<sup>τ</sup><sup>T</sup> <sup>r</sup>* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)*X*(4*κλ*2+Δ1) <sup>2</sup>Δ1Δ3*<sup>r</sup>* > 0.

Therefore, the theorem is proved.

#### **Appendix H. Proof of Theorem 6**

The differences among SWs measures in the MS and RS games are computed as follows: *π<sup>C</sup> gm* − *<sup>π</sup>RE gm* <sup>=</sup> <sup>36</sup>(*a*−*cm*)2*κ*2*λ*<sup>2</sup> 3 <sup>Δ</sup>1Δ2*<sup>m</sup>* <sup>&</sup>gt; 0; *<sup>π</sup><sup>C</sup> gm* − *<sup>π</sup><sup>T</sup> gm* <sup>=</sup> <sup>36</sup>(*a*−*cm*)*κ*3*λ*<sup>2</sup> 2 <sup>Δ</sup>1Δ3*<sup>m</sup>* > 0; *π<sup>C</sup> gr* − *<sup>π</sup>RE gr* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)2*λ*2(2*κλ*2+Δ1)<sup>2</sup> <sup>4</sup>Δ1Δ2*<sup>r</sup>* <sup>&</sup>gt; 0; *<sup>π</sup><sup>C</sup> gr* − *<sup>π</sup><sup>T</sup> gr* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)2*κ*(4*κλ*2+Δ1)<sup>2</sup> <sup>4</sup>Δ1Δ3*<sup>r</sup>* > 0. Similarly, the differences among total amount of subsidies in the MS and RS games are computed as follows: *G I<sup>C</sup> <sup>m</sup>* − *G IRE <sup>m</sup>* <sup>=</sup> <sup>6</sup>(*a*−*cm*)2*κλ*<sup>2</sup> <sup>2</sup>(2*κ*Δ2*m*2−*M*4*X*2*λ*2Δ<sup>1</sup> 2) Δ1 <sup>2</sup>Δ2*m*<sup>2</sup> <sup>&</sup>gt; 0; *G I<sup>C</sup> <sup>m</sup>* − *G I<sup>T</sup> <sup>m</sup>* <sup>=</sup> <sup>6</sup>(*a*−*cm*)2*κ*2*λ*2(2*λ*2Δ3*m*2−*N*5*Z*2*κ*Δ<sup>1</sup> 2) Δ1 <sup>2</sup>Δ3*m*<sup>2</sup> <sup>&</sup>gt; 0; *G I<sup>C</sup> <sup>r</sup>* − *G IRE <sup>r</sup>* <sup>=</sup> (*a*−*cm*)2*λ*2(*N*3*λ*2−*Z*2*κ*)(4*κ*Δ2*<sup>r</sup>* <sup>2</sup>−(*M*2+*λ*2)*X*2*λ*2Δ<sup>1</sup> 2) Δ1 <sup>2</sup>Δ2*<sup>r</sup>* <sup>2</sup> > 0; *G I<sup>C</sup> <sup>r</sup>* − *G I<sup>T</sup> <sup>r</sup>* =

(*a*−*cm*)2*κ*(*N*3*λ*2−*Z*2*κ*)(4*λ*2Δ3*<sup>r</sup>* <sup>2</sup>−(*N*2+*κ*)*Z*2*κ*Δ<sup>1</sup> 2) Δ1 <sup>2</sup>Δ3*<sup>r</sup>* <sup>2</sup> > 0

Therefore, the theorem is proved.

#### **References**


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