**Appendix A**

χ(*r*1) = *r* + ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+<sup>2</sup> - *L*−<sup>1</sup> *r n I*1(*r*) *r*=*r*<sup>1</sup> , χ(*r*2) = *r* + ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+<sup>2</sup> - *L*−<sup>1</sup> *r n I*1(*r*) *r*=*r*<sup>2</sup> , χ<sup>1</sup> (*r*1) = 1 + ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+<sup>2</sup> - *L*−<sup>1</sup> *r n I*(*r*) *r*=*r*<sup>1</sup> , χ<sup>1</sup> (*r*2) = 1 + ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+<sup>2</sup> - *L*−<sup>1</sup> *r n I*(*r*) *r*=*r*<sup>2</sup> , χ<sup>2</sup> (*r*1) = ( ∞ *n*=0 *M*2*<sup>n</sup>* - *L*−<sup>1</sup> *r n I*(*r*) *r*=*r*<sup>1</sup> , χ<sup>2</sup> (*r*2) = ( ∞ *n*=0 *M*2*<sup>n</sup>* - *L*−<sup>1</sup> *r n I*(*r*) *r*=*r*<sup>2</sup> , χ<sup>3</sup> (*r*1) = *r* + ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+<sup>2</sup> *<sup>r</sup>*2*n*+<sup>3</sup> 32.52.72....(2*n*+3) 2 *r*=*r*<sup>1</sup> , χ<sup>3</sup> (*r*2) = *r* + ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+<sup>2</sup> *<sup>r</sup>*2*n*+<sup>3</sup> 32.52.72....(2*n*+3) 2 *r*=*r*<sup>2</sup> , χ<sup>4</sup> (*r*1) = *r* + *M*<sup>2</sup> *<sup>r</sup>*<sup>2</sup> 3! <sup>+</sup> ( ∞ *n*=1 *M*2*n*+<sup>2</sup> *<sup>r</sup>n*+<sup>2</sup> (*n*+3)!(3.4.5....(*n*+2)) *r*=*r*<sup>1</sup> , χ<sup>4</sup> (*r*2) = *r* + *M*<sup>2</sup> *<sup>r</sup>*<sup>2</sup> 3! <sup>+</sup> ( ∞ *n*=1 *M*2*n*+<sup>2</sup> *<sup>r</sup>n*+<sup>2</sup> (*n*+3)!(3.4.5....(*n*+2)) *r*=*r*<sup>2</sup> , χ<sup>5</sup> (*r*1) = 1 + ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+<sup>2</sup> *<sup>r</sup>n*+<sup>1</sup> (*n*+2)!(1.2.3.4....(*n*+1)) *r*=*r*<sup>1</sup> , χ<sup>5</sup> (*r*2) = 1 + ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+<sup>2</sup> *<sup>r</sup>n*+<sup>1</sup> (*n*+2)!(1.2.3.4....(*n*+1)) *r*=*r*<sup>2</sup> , χ<sup>6</sup> (*r*1) = ( ∞ *n*=0 *M*2*<sup>n</sup> rn*<sup>+</sup><sup>1</sup> (*n*+2)!(1.2.3.4....(*n*+1)) *r*=*r*<sup>1</sup> , χ<sup>6</sup> (*r*2) = ( ∞ *n*=0 *M*2*<sup>n</sup> rn*<sup>+</sup><sup>1</sup> (*n*+2)!(1.2.3.4....(*n*+1)) *r*=*r*<sup>2</sup> , χ<sup>7</sup> (*r*1) = *r* + ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+<sup>2</sup> *<sup>r</sup>*3*n*+<sup>4</sup> 12.42.90....(3*n*+3) (3*n*+4) *r*=*r*<sup>1</sup> , χ<sup>7</sup> (*r*2) = *r* + ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+<sup>2</sup> *<sup>r</sup>*3*n*+<sup>4</sup> 12.42.90....(3*n*+3) (3*n*+4) *r*=*r*<sup>2</sup> , χ<sup>8</sup> (*r*1) = 1 + *M*<sup>2</sup> *<sup>r</sup>*<sup>3</sup> 3! <sup>+</sup> ( ∞ *n*=1 *M*2*n*+<sup>2</sup> *<sup>r</sup>*3*n*+<sup>3</sup> 3!(30.72.132....(3*n*+3) (3*n*+2)) *r*=*r*<sup>1</sup> χ<sup>8</sup> (*r*2) = 1 + *M*<sup>2</sup> *<sup>r</sup>*<sup>3</sup> 3! <sup>+</sup> ( ∞ *n*=1 *M*2*n*+<sup>2</sup> *<sup>r</sup>*3*n*+<sup>3</sup> 3!(30.72.132....(3*n*+3) (3*n*+2)) *r*=*r*<sup>2</sup>

,

,

χ<sup>9</sup> (*r*1) = *r*3 3! <sup>+</sup> ( ∞ *n*=1 *M*2*<sup>n</sup> <sup>r</sup>*3*n*+<sup>3</sup> 3!(30.72.132....(3*n*+3) (3*n*+2)) *r*=*r*<sup>1</sup> , χ<sup>9</sup> (*r*2) = *r*3 3! <sup>+</sup> ( ∞ *n*=1 *M*2*<sup>n</sup> <sup>r</sup>*3*n*+<sup>3</sup> 3!(30.72.132....(3*n*+3) (3*n*+2)) *r*=*r*<sup>2</sup> , *g*(*r*) = *<sup>r</sup>*<sup>3</sup> <sup>3</sup> <sup>+</sup> ( ∞ *n*=0 (*M*2*n*+2*r*2*n*+5) (2*n*+5) (32.52.72...(2*n*+3) 2 ) , *<sup>g</sup>*<sup>0</sup> (*r*) <sup>=</sup> *<sup>r</sup>*<sup>3</sup> <sup>3</sup> <sup>+</sup> *<sup>M</sup>*2*r*<sup>4</sup> 4! <sup>+</sup> ( ∞ *n*=1 *M*2*n*+<sup>2</sup>*rn*<sup>+</sup><sup>4</sup> (*n*+4) (*n*+3)!(3.4.5...(*n*+2)), *<sup>g</sup>*<sup>0</sup> (*r*) <sup>=</sup> *<sup>r</sup>*<sup>3</sup> <sup>3</sup> <sup>+</sup> *<sup>M</sup>*2*r*<sup>4</sup> 4! <sup>+</sup> ( ∞ *n*=1 *M*2*n*+<sup>2</sup>*rn*<sup>+</sup><sup>4</sup> (*n*+4) (*n*+3)!(3.4.5...(*n*+2)), *<sup>g</sup>*<sup>1</sup> (*r*) <sup>=</sup> *<sup>r</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup> <sup>+</sup> ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+2*rn*+<sup>3</sup> (*n*+3) (*n*+2)!(1.2.3.4...(*n*+1)), *g*<sup>2</sup> (*r*) = ( ∞ *n*=0 *M*<sup>2</sup>*nrn*<sup>+</sup><sup>3</sup> (*n*+3) (*n*+2)!(1.2.3.4...(*n*+1)), *h*(*r*) = *<sup>r</sup>*<sup>3</sup> <sup>3</sup> <sup>+</sup> ( ∞ *n*=0 *M*2*n*+2*r*3*n*+<sup>6</sup> (3*n*+6) (12.42.90...(3*n*+3) (3*n*+4)), *<sup>h</sup>*<sup>1</sup> (*r*) <sup>=</sup> *<sup>r</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup> <sup>+</sup> *<sup>M</sup>*2*r*<sup>5</sup> 3!5 <sup>+</sup> ( ∞ *n*=1 *M*2*n*+2*r*3*n*+<sup>5</sup> (3*n*+5) 3!(30.72.132...(3*n*+3) (3*n*+2)), *<sup>h</sup>*<sup>2</sup> (*r*) <sup>=</sup> *<sup>r</sup>*<sup>5</sup> 3! <sup>+</sup> ( ∞ *n*=1 *M*<sup>2</sup>*nr*<sup>3</sup>*n*+<sup>5</sup> (3*n*+5) 3!(30.72.132...(3*n*+3) (3*n*+2)), *a*<sup>11</sup> = *I*0(*Mr*1) − *I*0(*Mr*2), *a*<sup>12</sup> = χ3(*r*1)*I*0(*Mr*2) − χ3(*r*2)*I*0(*Mr*1), *<sup>a</sup>*<sup>13</sup> <sup>=</sup> <sup>χ</sup>3(*r*2) <sup>−</sup> <sup>χ</sup>3(*r*1), *<sup>a</sup>*<sup>14</sup> <sup>=</sup> *<sup>a</sup>*<sup>11</sup> *<sup>a</sup>*<sup>12</sup> , *<sup>a</sup>*<sup>15</sup> <sup>=</sup> *<sup>a</sup>*<sup>13</sup> *<sup>a</sup>*<sup>12</sup> , *<sup>a</sup>*<sup>16</sup> <sup>=</sup> *<sup>r</sup>*<sup>3</sup> 2−*r*<sup>3</sup> 1 <sup>3</sup> , *a*<sup>17</sup> = ( ∞ *n*=0 *<sup>M</sup>*2*n*+<sup>2</sup> (*<sup>r</sup>* 2*n*+5 <sup>2</sup> −*r* 2*n*+5 <sup>1</sup> ) (2*n*+5) (32.52.72....(2*n*+3) 2 ) , *<sup>a</sup>*<sup>18</sup> <sup>=</sup> *<sup>r</sup>*2*I*1(*Mr*2)−*r*1*I*1(*Mr*1) *<sup>M</sup>* , *<sup>a</sup>*<sup>19</sup> <sup>=</sup> *<sup>r</sup>*<sup>2</sup> 2−*r*<sup>2</sup> 1 <sup>2</sup> , *a*<sup>20</sup> = *a*14(*a*<sup>16</sup> + *a*17), *<sup>a</sup>*<sup>21</sup> <sup>=</sup> *<sup>a</sup>*15*a*18, *<sup>a</sup>*<sup>22</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>(*a*19+*a*20+*a*21) *<sup>M</sup>*<sup>2</sup> , *b*<sup>11</sup> = χ5(*r*1) − χ5(*r*2), *b*<sup>12</sup> = χ4(*r*1) χ5(*r*2) − χ4(*r*2) χ5(*r*1), *<sup>b</sup>*<sup>13</sup> <sup>=</sup> <sup>χ</sup>6(*r*1) <sup>χ</sup>5(*r*2) <sup>−</sup> <sup>χ</sup>6(*r*2) <sup>χ</sup>5(*r*1), *<sup>b</sup>*<sup>14</sup> <sup>=</sup> *<sup>b</sup>*<sup>11</sup> *<sup>b</sup>*<sup>12</sup> , *<sup>b</sup>*<sup>15</sup> <sup>=</sup> *<sup>b</sup>*<sup>13</sup> *b*12 , *b*<sup>16</sup> = χ4(*r*2) − χ4(*r*1), *b*<sup>17</sup> = χ6(*r*1) χ4(*r*2) − χ6(*r*2) χ4(*r*1), *<sup>b</sup>*<sup>18</sup> = *<sup>b</sup>*<sup>16</sup> *<sup>b</sup>*<sup>12</sup> , *<sup>b</sup>*<sup>19</sup> <sup>=</sup> *<sup>b</sup>*<sup>17</sup> *<sup>b</sup>*<sup>12</sup> , *<sup>b</sup>*<sup>20</sup> <sup>=</sup> *<sup>M</sup>*<sup>2</sup>(*r*<sup>4</sup> 2−*r*<sup>4</sup> 1) 4! , *b*<sup>21</sup> = ( ∞ *n*=1 *<sup>M</sup>*2*n*+<sup>2</sup> (*<sup>r</sup> n*+4 <sup>2</sup> −*r n*+4 <sup>1</sup> ) (*n*+4) (*n*+3)!(3.4.5....(*n*+2)), *b*<sup>22</sup> = ( ∞ *n*=0 *<sup>M</sup>*2*n*+<sup>2</sup> (*<sup>r</sup> n*+3 <sup>2</sup> −*r n*+3 <sup>1</sup> ) (*n*+3) (*n*+2)!(1.2.3.4...(*n*+1)), *b*<sup>23</sup> = *a*<sup>16</sup> + *b*<sup>20</sup> + *b*21, *b*<sup>24</sup> = *b*<sup>22</sup> + *a*19, *b*<sup>25</sup> = *b*14*b*23, *<sup>b</sup>*<sup>27</sup> = *<sup>b</sup>*18*b*24, *<sup>b</sup>*<sup>28</sup> = *<sup>b</sup>*19*b*24, *<sup>b</sup>*<sup>29</sup> = *<sup>b</sup>*<sup>22</sup> *<sup>M</sup>*<sup>2</sup> + *b*<sup>28</sup> − *b*26, *d*<sup>11</sup> = χ8(*r*1) − χ8(*r*2), *d*<sup>12</sup> = χ8(*r*2) χ7(*r*1) − χ7(*r*2) χ8(*r*1), *d*<sup>13</sup> = χ9(*r*1) χ8(*r*2) − χ9(*r*2) χ8(*r*1), *d*<sup>14</sup> = χ9(*r*1) χ7(*r*2) − χ9(*r*2) χ7(*r*1), *<sup>d</sup>*<sup>15</sup> <sup>=</sup> <sup>χ</sup>7(*r*2) <sup>−</sup> <sup>χ</sup>7(*r*1), *<sup>d</sup>*<sup>16</sup> <sup>=</sup> *<sup>d</sup>*<sup>11</sup> *<sup>d</sup>*<sup>12</sup> , *<sup>d</sup>*<sup>17</sup> <sup>=</sup> *<sup>d</sup>*<sup>13</sup> *<sup>d</sup>*<sup>12</sup> , *<sup>d</sup>*<sup>18</sup> <sup>=</sup> *<sup>d</sup>*<sup>15</sup> *<sup>d</sup>*<sup>12</sup> , *<sup>d</sup>*<sup>19</sup> <sup>=</sup> *<sup>d</sup>*<sup>14</sup> *<sup>d</sup>*<sup>12</sup> , *d*<sup>20</sup> = ( ∞ *n*=0 *<sup>M</sup>*2*n*+<sup>2</sup> (*<sup>r</sup>* 3*n*+4 <sup>2</sup> −*r* 3*n*+4 <sup>1</sup> ) (3*n*+6) (12.42.90....(3*n*+3) (3*n*+4)), *<sup>d</sup>*<sup>21</sup> <sup>=</sup> *<sup>M</sup>*<sup>2</sup> (*r*<sup>5</sup> 2−*r*<sup>5</sup> 1) <sup>30</sup> , *d*<sup>22</sup> = ( ∞ *n*=1 *<sup>M</sup>*2*n*+<sup>2</sup> (*<sup>r</sup>* 3*n*+5 <sup>2</sup> −*r* 3*n*+5 <sup>1</sup> ) (3*n*+5) 3!(30.72.132...(3*n*+3) (3*n*+2)), *d*<sup>23</sup> = *a*<sup>16</sup> + *d*20, *d*<sup>24</sup> = *a*<sup>19</sup> + *d*<sup>21</sup> + *d*22, *d*<sup>25</sup> = *d*16*d*23, *d*<sup>26</sup> = *d*18*d*24, *d*<sup>27</sup> = <sup>5</sup> *<sup>M</sup>*<sup>2</sup> *<sup>d</sup>*<sup>21</sup> <sup>+</sup> *<sup>d</sup>*<sup>22</sup> *<sup>M</sup>*<sup>2</sup> + *<sup>d</sup>*19*d*<sup>24</sup> <sup>−</sup> *<sup>d</sup>*17*d*23.

#### **References**

1. Abd El Naby, A.H.; El Misiery, A.E.M. Effects of an endoscope and generalized Newtonian fluid on peristaltic motion. *Appl. Math. Comput.* **2002**, *128*, 19–35. [CrossRef]


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