**Appendix A**

Shape functions for the beam finite element.

$$\begin{array}{c} N\_1(y) = \left[ 1 - \frac{3y^2}{L^2} + \frac{2y^3}{L^3}; -y + \frac{2y^2}{L} - \frac{y^3}{L^2}; \frac{3y^2}{L^2} - \frac{2y^3}{L^3}; \frac{y^2}{L} - \frac{y^3}{L^2} \right] \\ N\_2(y) = \left[ 1 - \frac{3y^2}{L^2} + \frac{2y^3}{L^3}; y - \frac{2y^2}{L} + \frac{y^3}{L^2}; \frac{3y^2}{L^2} - \frac{2y^3}{L^3}; -\frac{y^2}{L} + \frac{y^3}{L^2} \right] \end{array} \tag{A1}$$

[*C*1] =

[*K*1] =

Expressions for matrices in Equation (3) are

[*MT*] <sup>=</sup> *<sup>ρ</sup>SL* 420 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 156 0 0 −22*L* 54 0 0 13*L* 0 156 22*L* 0 0 54 −13*L* 0 0 22*<sup>L</sup>* <sup>4</sup>*L*<sup>2</sup> 0 0 13*<sup>L</sup>* <sup>−</sup>3*L*<sup>2</sup> <sup>0</sup> <sup>−</sup>22*<sup>L</sup>* 0 04*L*<sup>2</sup> <sup>−</sup>13*<sup>L</sup>* 0 0 <sup>−</sup>3*L*<sup>2</sup> 54 0 0 −13*L* 156 0 0 22*L* 0 54 13*L* 0 0 156 −22*L* 0 <sup>0</sup> <sup>−</sup>13*<sup>L</sup>* <sup>−</sup>3*L*<sup>2</sup> 0 0 <sup>−</sup>22*<sup>L</sup>* <sup>4</sup>*L*<sup>2</sup> <sup>0</sup> <sup>13</sup>*<sup>L</sup>* 0 0 <sup>−</sup>3*L*<sup>2</sup> <sup>22</sup>*<sup>L</sup>* 0 04*L*<sup>2</sup> ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (A2) [*MR*] <sup>=</sup> *<sup>ρ</sup><sup>I</sup>* 30*L* ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 36 0 0 −3*L* −36 0 0 3*L* 0 36 3*L* 0 0 −36 3*L* 0 0 3*<sup>L</sup>* <sup>4</sup>*L*<sup>2</sup> 0 03*<sup>L</sup>* <sup>−</sup>*L*<sup>2</sup> <sup>0</sup> <sup>−</sup>3*<sup>L</sup>* 0 04*L*<sup>2</sup> <sup>3</sup>*<sup>L</sup>* 0 0 <sup>−</sup>*L*<sup>2</sup> −36 0 0 3*L* 36 0 0 3*L* 0 −36 3*L* 0 0 36 −3*L* 0 <sup>0</sup> <sup>−</sup>3*<sup>L</sup>* <sup>−</sup>*L*<sup>2</sup> 0 0 <sup>−</sup>3*<sup>L</sup>* <sup>4</sup>*L*<sup>2</sup> <sup>0</sup> <sup>−</sup>3*<sup>L</sup>* 0 0 <sup>−</sup>*L*<sup>2</sup> <sup>3</sup>*<sup>L</sup>* 0 04*L*<sup>2</sup> ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (A3) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ *cxx czx* 0 0 0 0 0 0 *cxz czz* 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ *or* ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 *cxx czx* 0 0 0 0 0 0 *cxz czz* 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (A4) [*C*2] <sup>=</sup> *<sup>ρ</sup><sup>I</sup>* 15*L* ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 −36 −3*L* 0 0 36 −3*L* 0 36 0 0 −3*L* −36 0 0 −3*L* <sup>3</sup>*<sup>L</sup>* 0 0 <sup>−</sup>4*L*<sup>2</sup> <sup>−</sup>3*<sup>L</sup>* 0 0 *<sup>L</sup>*<sup>2</sup> 0 3*<sup>L</sup>* <sup>4</sup>*L*<sup>2</sup> 0 0 <sup>−</sup>3*<sup>L</sup>* <sup>−</sup>*L*<sup>2</sup> <sup>0</sup> 0 36 3*L* 0 0 −36 3*L* 0 −36 0 0 3*L* 36 0 0 3*L* <sup>3</sup>*<sup>L</sup>* 0 0 *<sup>L</sup>*<sup>2</sup> <sup>−</sup>3*<sup>L</sup>* 0 04*L*<sup>2</sup> 0 3*<sup>L</sup>* <sup>−</sup>*L*<sup>2</sup> 0 0 <sup>−</sup>3*<sup>L</sup>* <sup>4</sup>*L*<sup>2</sup> <sup>0</sup> ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (A5) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ *kxx kzx* 0 0 0 0 0 0 *kxz kzz* 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ *or* ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 *kxx kzx* 0 0 0 0 0 0 *kxz kzz* 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (A6)


with *A* = *EI*/((1 + *a*)*L*3) and *a* = 12*EI*/ *GSL*<sup>2</sup> , where *E* is the Young modulus of the shaft material, *I* is the moment of inertia of the shaft transversal section, *a* is the shear factor, *S* is the cross-sectional area of the shaft, *L* is the element length, *G* and *ρ* are the shear modulus and the density of the shaft material, respectively.

#### **References**


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