*Article* **Steady Fluid–Structure Coupling Interface of Circular Membrane under Liquid Weight Loading: Closed-Form Solution for Differential-Integral Equations**

**Xue Li 1, Jun-Yi Sun 1,2,\*, Xiao-Chen Lu 1, Zhi-Xin Yang <sup>1</sup> and Xiao-Ting He 1,2**


**Abstract:** In this paper, the problem of fluid–structure interaction of a circular membrane under liquid weight loading is formulated and is solved analytically. The circular membrane is initially flat and works as the bottom of a cylindrical cup or bucket. The initially flat circular membrane will undergo axisymmetric deformation and deflection after a certain amount of liquid is poured into the cylindrical cup. The amount of the liquid poured determines the deformation and deflection of the circular membrane, while in turn, the deformation and deflection of the circular membrane changes the shape and distribution of the liquid poured on the deformed and deflected circular membrane, resulting in the so-called fluid-structure interaction between liquid and membrane. For a given amount of liquid, the fluid-structure interaction will eventually reach a static equilibrium and the fluid-structure coupling interface is steady, resulting in a static problem of axisymmetric deformation and deflection of the circular membrane under the weight of given liquid. The established governing equations for the static problem contain both differential operation and integral operation and the power series method plays an irreplaceable role in solving the differential-integral equations. Finally, the closed-form solutions for stress and deflection are presented and are confirmed to be convergent by the numerical examples conducted.

**Keywords:** circular membrane; fluid-structure interaction; differential-integral equations; power series method; closed-form solution

### **1. Introduction**

Elastic membrane structures or structural components have applications in various fields [1–5]. These applications have provided an impetus for scholars to investigate the phenomena of large deflection of membrane [6–8]. Such investigations usually give rise to nonlinear equations with differential and even integral operation. These somewhat intractable nonlinear equations may present serious analytical difficulties when applied to boundary value problems [9–13].

The usually so-called circular membrane problem refers to the problem of axisymmetric deformation and deflection of an initially flat, peripherally fixed circular membrane subjected to transverse loads. Three main loading forms of transverse loads are involved in the existing studies: <sup>1</sup> the uniformly distributed loads applied to the entire circular membrane [14–22], <sup>2</sup> the uniformly distributed loads applied to the central portion of the circular membrane [23], and <sup>3</sup> the concentrated force applied to the center of the circular membrane [24–28]. Hencky was the first scholar to deal with the circular membrane problem concerning the first loading form of transverse loads and presented a closedform solution in the form of power series [14]. A computational error in reference [14]

**Citation:** Li, X.; Sun, J.-Y.; Lu, X.-C.; Yang, Z.-X.; He, X.-T. Steady Fluid–Structure Coupling Interface of Circular Membrane under Liquid Weight Loading: Closed-Form Solution for Differential-Integral Equations. *Mathematics* **2021**, *9*, 1105. https://doi.org/10.3390/math9101105

Academic Editors: Lucas Jódar and Rafael Company

Received: 9 March 2021 Accepted: 10 May 2021 Published: 13 May 2021

**Publisher's Note:** MDPI stays neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

**Copyright:** © 2021 by the authors. Licensee MDPI, Basel, Switzerland. This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution (CC BY) license (https:// creativecommons.org/licenses/by/ 4.0/).

was corrected by Chien [15] and Alekseev [16], respectively. The problem originally dealt with by Hencky is usually called the well-known Hencky problem; i.e., the problem of axisymmetric deformation and deflection of an initially flat, peripherally fixed circular membrane under the action of a uniformly distributed transverse loads, where the weight of the circular membrane is usually ignored because it is usually very small in comparison with the transverse loads. The solution of the well-known Hencky problem is usually called the well-known Hencky solution, which is the first solution of the circular membrane problem and is often cited in some studies of related issues [15–22]. Chien et al. [23] analytically dealt with the symmetrical deformation of circular membrane under the action of uniformly distributed loads in its central portion, i.e., the circular membrane problem concerning the second loading form of transverse load. As for the third loading form, the concentrated force applied to the center of the circular membrane, it is, in fact, the limit case of the second loading form of transverse loads.

If an initially flat circular membrane is used as the bottom of a cylindrical cup or bucket and a certain amount of liquid is poured into the cylindrical cup or bucket, then the initially flat circular membrane will undergo axisymmetric deformation and deflection. The amount of the liquid poured determines the deformation and deflection of the circular membrane, while in turn, the deformation and deflection of the circular membrane changes the shape or distribution of the liquid over the deformed and deflected circular membrane. This results in an interaction between the liquid and the membrane, which is often referred to as a fluid– structure interaction. Obviously, for a given amount of liquid, the interaction between the liquid and the membrane will eventually reach a static equilibrium and a steady fluid–solid coupling interface will appear. Our main interest here is the static problem of axisymmetric deformation and deflection of the circular membrane under the given liquid weight loading. The closed-form solution of this static problem is expected to be used in the development of a new rain gauge [29–31]. However, such a fluid–structure coupling problem will give rise to governing equations containing both differential operation and integral operation. The power series method plays a unique and key role in solving these kinds of differential-integral equations analytically, as will be seen later.

The paper is organized as follows: in Section 2, the governing equations are established and the closed-form solutions for stress and deflection are presented. In Section 3, the numerical examples are conducted to show the differences between the presented solution and the well-known Hencky solution, and the convergence of the power-series solution for deflection and stress is verified. The concluding remarks are shown in Section 4.

#### **2. Membrane Equation and Its Solution**

An initially flat circular unstretched membrane with Young's modulus of elasticity *E*, Poisson's ratio *ν*, thickness *h* and radius *a* is fixed at the lower end of a vertically placed rigid round tube of finite length to form a cylindrical cup or bucket of inner radius *a* having a closed soft bottom with elastic deformation capability, and then a colored liquid with density *ρ* is slowly poured into the cup until the height of liquid reaches *H*, as shown in Figure 1, where *H* is the distance from the liquid level to the plane in which the initially flat circular membrane is located, *wm* denotes the maximum deflection of the deflected circular membrane at static equilibrium. Based on the anticipated use of this study for rain gauge, only the case of *H* ≥ 0 is considered here.

Let us take out a free body of a piece of circular membrane with radius *r* (0 ≤ *r* ≤ *a*) from the central portion of the whole deformed circular membrane, to study the static problem of equilibrium of this free body under the joint actions of the external force *<sup>F</sup>*(*r*) produced by the transverse distributed loads *<sup>q</sup>*(*r*) within *<sup>r</sup>* and the total force 2*πrσrh* produced by the membrane force *σrh* acting on the boundary *r*, as shown in Figure 2; where a cylindrical coordinate system (*r*, *ϕ*, *w*) is introduced, the polar coordinate plane (*r*, *ϕ*) is located in the plane in which the geometric middle plane of the initially flat circular membrane is located; *o* denotes the origin of the cylindrical coordinate system (*r*, *ϕ*, *w*), which is placed in the centroid of the geometric intermediate plane, *r* denotes the radial

coordinate, *w* denotes the axial coordinate of the cylindrical coordinate system (*r*, *ϕ*, *w*) as well as the transverse displacement of a point on the deflected circular membrane, *θ* denotes the slope angle of the deflecting membrane, and *σ<sup>r</sup>* denotes the radial stress, while the angle coordinate *ϕ* is not represented in Figure 2.

**Figure 1.** Geometry of the circular membrane under prescribed liquid along a diameter.

**Figure 2.** Free body diagram of the deformed circular membrane with radius 0 ≤ *r* ≤ *a*.

Obviously, the external force *<sup>F</sup>*(*r*) produced by *<sup>q</sup>*(*r*) within radius *<sup>r</sup>* is equal to the weight of the liquid within radius *r*, and is given by

$$F(r) = \rho g \int\_0^r \left[ w(r) + H \right] \cdot 2\pi r \text{d}r = 2\pi \rho g \int\_0^r w(r) r \text{d}r + \rho g \pi r^2 H,\tag{1}$$

where *<sup>g</sup>* is the acceleration of gravity and *<sup>w</sup>*(*r*) is the transverse displacement at *<sup>r</sup>*. Equation (1) is the usually so-called fluid-structure coupling equation at static equilibrium. The direction of the external force *<sup>F</sup>*(*r*) is always perpendicular to the plane in which the initially flat circular membrane is located and vertically downward. Right here, the vertical upward force is 2*πrσrh* sin *θ*, that is, the vertical component of the total membrane force 2*πrσrh* at *r*. Therefore, after ignoring the weight of the circular membrane, the equilibrium condition in the vertical direction, i.e., the so-called out-of-plane equilibrium equation, is given by

$$2\pi r \sigma\_r h \sin \theta = F(r) = 2\pi \rho g \int\_0^r w(r) r \text{d}r + \rho g \pi r^2 H,\tag{2}$$

where

$$
\sin \theta \cong \tan \theta = -\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}r}.\tag{3}
$$

Substituting Equation (3) into Equation (2) yields

$$2r\sigma\_{\bar{r}}h\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}r} + 2\rho g \int\_0^r w(r)r\mathrm{d}r + \rho g r^2 H = 0.\tag{4}$$

In the horizontal direction, there are two horizontal forces, the circumferential membrane force *σth* and the horizontal component of the radial membrane force *σrh*, where *σ<sup>t</sup>* denotes the circumferential stress. Then, the equilibrium condition in the horizontal direction (i.e., the so-called in-plane equilibrium equation) is [23]

$$\frac{\text{d}}{\text{d}r}(r\sigma\_r h) - \sigma\_l h = 0.\tag{5}$$

Suppose that the radial strain is *er*, the circumferential strain is *et* and the radial displacement at *<sup>r</sup>* is *<sup>u</sup>*(*r*). Then, the relations of the strain and displacement, the so-called geometric equations, may be written as [23]

$$\mathbf{e}\_r = \frac{\mathbf{d}u}{\mathbf{d}r} + \frac{1}{2} (\frac{\mathbf{d}w}{\mathbf{d}r})^2 \tag{6}$$

and

$$
\omega\_t = \frac{u}{r}.\tag{7}
$$

The relations of the stress and strain (i.e., the so-called physical equations) are [23]

$$
\sigma\_{\mathcal{I}} = \frac{E}{1 - \nu^2} (\mathbf{e}\_{\mathcal{I}} + \nu \mathbf{e}\_{\mathcal{I}}) \tag{8}
$$

and

$$
\sigma\_t = \frac{E}{1 - \nu^2} (e\_t + \nu e\_r). \tag{9}
$$

Substituting Equations (6) and (7) into Equations (8) and (9) (to eliminate *er* and *et* in Equations (8) and (9)) yields

$$
\sigma\_r = \frac{E}{1 - \nu^2} [\frac{\mathbf{d}u}{\mathbf{d}r} + \frac{1}{2} (\frac{\mathbf{d}w}{\mathbf{d}r})^2 + \nu \frac{u}{r}] \tag{10}
$$

and

$$
\sigma\_l = \frac{E}{1 - \nu^2} [\frac{\mu}{r} + \nu \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r} + \nu \frac{1}{2} (\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}r})^2]. \tag{11}
$$

By means of Equations (10), (11) and (5), one has

$$\frac{\mu}{r} = \frac{1}{Eh} (\sigma\_t h - \nu \sigma\_r h) = \frac{1}{Eh} [\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d}r} (r \sigma\_r h) - \nu \sigma\_r h]. \tag{12}$$

Eliminating *u* from Equations (10) and (12) yields

$$r\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d}r}[\frac{1}{r}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d}r}(r^2\sigma\_r h)] + \frac{Eh}{2}(\frac{\mathbf{d}w}{\mathbf{d}r})^2 = 0.\tag{13}$$

Equation (13) is usually called a consistency equation. Equations (4) and (13) are two equations for the solutions of *σ<sup>r</sup>* and *w*.

The boundary conditions, under which Equations (4) and (13) may be solved, are

$$\frac{\text{d}w}{\text{d}r} = 0 \text{ at } r = 0,\tag{14}$$

$$\frac{\mu}{r} = \frac{1}{Eh} [\frac{\text{d}}{\text{d}r}(r\sigma\_r h) - \nu \sigma\_r h] = 0 \text{ at } r = a \tag{15}$$

and

$$w = 0 \text{ at } r = a. \tag{16}$$

Let us introduce the following nondimensionalization:

$$\mathcal{W} = \frac{w}{a}, \; S\_r = \frac{\sigma\_r}{E}, \; S\_t = \frac{\sigma\_t}{E}, \; x = \frac{r}{a'}, \; H\_0 = \frac{H}{a'}, \; G = \frac{\rho g a^2}{Eh}, \tag{17}$$

and transform Equations (4), (13), (5), (14), (15) and (16) into

$$2xS\_r \frac{d\mathcal{W}}{dx} + 2G \int\_0^x \mathcal{W}(x) x dx + x^2 G H\_0 = 0,\tag{18}$$

$$\text{tr}^2 \frac{\text{d}^2 \text{S}\_r}{\text{dx}^2} + 3\text{x} \frac{\text{dS}\_r}{\text{dx}} + \frac{1}{2} (\frac{\text{dW}}{\text{dx}})^2 = 0,\tag{19}$$

$$S\_t = S\_r + \mathbf{x} \frac{\mathbf{d}S\_r}{\mathbf{d}\mathbf{x}} \,\tag{20}$$

$$\frac{d\mathbf{W}}{dx} = 0 \text{ at } x = 0,\tag{21}$$

$$\frac{\mu}{r} = (1 - \nu)S\_r + \mathbf{x}\frac{\mathbf{dS}\_r}{\mathbf{dx}} = 0 \text{ at } \mathbf{x} = 1\tag{22}$$

and

$$\mathcal{W} = 0 \text{ at } \mathbf{x} = 1. \tag{23}$$

In view of the physical phenomenon that the values of stress and deflection are both finite at *<sup>x</sup>* <sup>=</sup> 0, *Sr* and *<sup>W</sup>* can be expanded into the power series of *<sup>x</sup>*; i.e., let

$$S\_{\mathbf{r}} = \sum\_{i=0}^{n} c\_i \mathbf{x}^i \tag{24}$$

and

$$\mathcal{W} = \sum\_{i=0}^{n} d\_i \mathfrak{x}^i. \tag{25}$$

After substituting Equations (24) and (25) into Equations (18) and (19), it is found, by using the mathematical software Maple 2018, that, *ci* <sup>≡</sup> 0 and *di* <sup>≡</sup> 0 when *<sup>i</sup>* <sup>=</sup> 1, 3, 5, ..., and when *<sup>i</sup>* <sup>=</sup> 2, 4, 6, ..., the coefficients *ci* and *di* can be expressed into the polynomial with regard to the coefficients *c*<sup>0</sup> and *d*<sup>0</sup> (see Appendices A and B).

The remaining two coefficients *c*<sup>0</sup> and *d*<sup>0</sup> are called undetermined constants, which can be determined by using the boundary conditions Equations (22) and (23) as follows. From Equation (24), Equation (22) gives

$$(1 - \nu) \sum\_{i=0}^{n} c\_i + \sum\_{i=1}^{n} i c\_i = 0,\tag{26}$$

and from Equation (25), Equation (23) gives

$$\sum\_{i=0}^{n} d\_i = 0.\tag{27}$$

For a concrete problem, the values of *a*, *h*, *E*, *ν*, *ρ* and *H* are known in advance. Therefore, after substituting all expressions of *ci* and *di* (which are expressed by *c*<sup>0</sup> and *d*0, see Appendices A and B) into Equations (26) and (27), we can obtain a system of equations containing only *c*<sup>0</sup> and *d*0. The undetermined constants *c*<sup>0</sup> and *d*<sup>0</sup> can be determined by solving this system of equations. Furthermore, with the known *c*<sup>0</sup> and *d*0, the other coefficients *ci* and *di* (*<sup>i</sup>* <sup>=</sup> 2, 4, 6, ...) can easily be determined and the expressions of *Sr* and *W* can also be determined. The problems dealt with here are thus solved.

#### **3. Results and Discussions**

It is obvious that the boundary condition Equation (14), i.e., <sup>d</sup>*w*/d*<sup>r</sup>* = 0 at *<sup>r</sup>* = 0, has not been used yet. Now, let us see whether the closed-form solution obtained in Section 2 meets this boundary condition. From Equations (17) and (25) the dimensional form of the deflection *w* can be written as

$$w = \sum\_{i=0}^{\infty} \frac{d\_i}{a^{i-1}} r^i \tag{28}$$

and the first derivative of Equation (28) is

$$\frac{\mathbf{d}w}{\mathbf{d}r} = \sum\_{i=1}^{\infty} \frac{id\_i}{a^{i-1}} r^{i-1}.\tag{29}$$

Equation (29) gives <sup>d</sup>*w*/d*<sup>r</sup>* <sup>=</sup> *<sup>d</sup>*<sup>1</sup> at *<sup>r</sup>* <sup>=</sup> 0. Therefore <sup>d</sup>*w*/d*<sup>r</sup>* <sup>≡</sup> 0 at *<sup>r</sup>* <sup>=</sup> 0, due to *<sup>d</sup>*<sup>1</sup> <sup>≡</sup> <sup>0</sup> (see the description after Equation (25)). It indicates that Equation (14) can be automatically satisfied, which, to some extent, proves the validity of the closed-form solution obtained in Section 2.

#### *3.1. Comparison with the Well-Known Hencky Solution*

It is well known that the well-known Hencky solution applies only to the case where the transverse loads applied to the whole deflected circular membrane must, regardless of the deflection of the membrane, be uniformly distributed [14]. Obviously, the more uneven the distribution of the transverse loads is, the greater the error caused by using the well-known Hencky solution. It is not hard to imagine from Figure 1 that, for a given amount of liquid (keep the liquid level *H* constant), the thinner or softer the membrane is, the greater the deflection of the membrane is, while the greater the deflection of the membrane is, the more uneven the distribution of the liquid over the whole deflected circular membrane is. On the other hand, for a given circular membrane, the uniformity of liquid distribution will also change with the increase of the liquid level *H*. Now, let us consider a numerical example to examine the difference between using the well-known Hencky solution and the solution obtained in Section 2. When the well-known Hencky solution is used, its uniformly distributed transverse loads *<sup>q</sup>* are given here by *<sup>q</sup>* = *<sup>ρ</sup>gH*.

Suppose that a circular rubber membrane with radius *<sup>a</sup>* = <sup>20</sup> mm, thickness *<sup>h</sup>* = 0.1 mm, Young's modulus of elasticity and Poisson's ratio *<sup>ν</sup>* = 0.47 is subjected to a liquid with a density of *<sup>ρ</sup>* = <sup>1</sup> <sup>×</sup> <sup>10</sup>−<sup>6</sup> kg/mm<sup>3</sup> . After the fluid–structure interaction reaches a static equilibrium, the liquid level *H* is assumed to be equal to 0.5 mm, 50 mm and 200 mm, respectively. The acceleration of gravity is assumed to be *<sup>g</sup>* = <sup>10</sup> m/s2 . The deflection and radial stress curves along radius are shown in Figures 3 and 4, respectively, where the solid lines represent the results calculated by the solution obtained in Section 2 and the dotted lines by the well-known Hencky solution. The concrete values of the maximum deflection and radial stress are listed in Table 1, where the "errors" are given by the absolute value of the results by the well-known Hencky solution minus the results by the solution presented in this paper and then divided by the results by the solution presented in this paper.

**Figure 3.** Deflection *w* along radius *r* when *H* takes 0.5 mm, 50 mm and 200 mm, respectively, where the solid lines by the solution presented in this paper and the dotted lines by the well-known Hencky solution.

**Figure 4.** Radial stress *σr* along radius *r* when *H* takes 0.5 mm, 50 mm and 200 mm, respectively, where the solid lines represent the solution presented in this paper and the dotted lines represent the well-known Hencky solution.

**Table 1.** Maximum deflection and radial stress values at different *H* calculated by the solution presented in this paper and the well-known Hencky solution.


From Figures 3 and 4, it can be easily seen that the distance between the dotted line and the solid line decreases as the liquid level *H* increases. When *H* = 0.5 mm, the distance between the dotted line and the solid line is the largest and the error between the results calculated by the solution presented in this paper and the well-known Hencky solution are also the largest (see Table 1), while *H* = 200 mm, both the distance and the error are

very small. This means that when *H* = 0.5 mm, the distribution of the liquid over the whole deflected circular membrane is the most uneven, and consequently the difference between using the well-known Hencky solution and the solution presented in this paper is the most obvious (the maximum value of relative error is about 25.5% for deflection and 50.8% for radial stress; see the first row in Table 1). The main reason behind this is that the uniformly distributed transverse loads *q* used for the well-known Hencky solution are given by *<sup>q</sup>* = *<sup>ρ</sup>gH* (where *<sup>H</sup>* takes 0.5 mm); while *<sup>H</sup>* = 0.5 mm, the actual height of the liquid over the whole deflected circular membrane is 0.5 mm at the edge of the circular membrane and is about 1.3169 (0.5 + 0.8169) mm (see the first column in Table 1) at the center of the circular membrane (the relative error is about (1.3169 − 0.5)/0.5 = 163.38%). Therefore, the distribution of the liquid over the whole deflected circular membrane is actually very uneven. Just as stated above, the more uneven the distribution of the transverse loads is, the greater the error caused by using the well-known Hencky solution. On the other hand, when *H* = 200 mm, the actual height of the liquid over the whole deflected circular membrane is 200 mm at the edge of the circular membrane and is about 204.5161 (200 + 4.5161) mm at the center of the circular membrane (the relative error is about (204.5161 − 200)/200 = 2.26%). Therefore, in this case, the distribution of the liquid over the whole deflected circular membrane is actually very uniform. In other words, in this case, the external force *<sup>F</sup>*(*a*) produced by *<sup>q</sup>*(*r*) within radius *<sup>a</sup>*, which is applied to the whole deflected circular membrane, is largely determined by *ρgπa*2*H*, and the contribution of the fluid–structure interaction 2*πρg* " *a* <sup>0</sup> *<sup>w</sup>*(*r*)*r*d*<sup>r</sup>* can be ignored, see Equation (1). In addition, the phenomenon that the results calculated by the solution presented in this paper gradually converge to the results by the well-known Hencky solution as the liquid level *H* increases also proves to some extent that the closed-form solution obtained in Section 2 are basically reliable, as far as the well-known Hencky solution is considered to be a reliable solution.

#### *3.2. Verification of Convergence of the Power Series Solution*

In this section, the convergence of the power series solution obtained in Section 2 will be discussed. In general, it is better to discuss the convergence of the general solution rather than that of the special solution, because the special solution will converge if the general solution converges. However, we here have to discuss the convergence of the special solution, because the discussion on the convergence of the general solution cannot be conducted due to the complexity of the coefficients *ci* and *di* (*i* = 2, 4, 6, ... ) expressed by the undetermined constants *c*<sup>0</sup> and *d*<sup>0</sup> (see Appendices A and B). From the derivation in Section 2, we know that the undetermined constants *c*<sup>0</sup> and *d*<sup>0</sup> can be determined by simultaneous solutions of Equations (26) and (27); the special solutions for *Sr*(*x*) and *<sup>W</sup>*(*x*) can be easily obtained as long as the undetermined constants *<sup>c</sup>*<sup>0</sup> and *<sup>d</sup>*<sup>0</sup> can be determined. When calculating the undetermined constants *c*<sup>0</sup> and *d*0, we have to substitute the partial sum of former *n* terms of Equations (24) and (25), rather than the infinite series of Equations (24) and (25), into Equations (26) and (27), otherwise the resulting Equations (26) and (27) will contain two infinite series and are thus difficult to be solved. Therefore, it seems that the terms *n* will determine the values of the undetermined constants *c*<sup>0</sup> and *d*0, and different *n* will determine the different values of *c*<sup>0</sup> and *d*0. Hence, the discussion on the convergence of the special solution should focus on giving the variations of *c*<sup>0</sup> and *d*<sup>0</sup> with terms *n*. If the undetermined constants *c*<sup>0</sup> and *d*<sup>0</sup> converge as the terms *n* increase, then the special solution can be concluded to converge as well.

We will continue with the numerical example given in Section 3.1. A circular rubber membrane with radius *<sup>a</sup>* = <sup>20</sup> mm, thickness *<sup>h</sup>* = 0.1 mm, Young's modulus of elasticity *<sup>E</sup>* = 7.84 MPa and Poisson's ratio *<sup>ν</sup>* = 0.47 is subjected to the liquid weight loading with the liquid level *H* = 50 mm. We start the numerical calculations of *c*<sup>0</sup> and *d*<sup>0</sup> from *n* = 4; that is, start from the partial sum of the former four terms of Equations (24) and (25). The variations of *c*<sup>0</sup> and *d*<sup>0</sup> with terms *n* are shown in Figures 5 and 6, respectively. From Figures 5 and 6, we may see that with the increase of the terms *n*, the values of *c*<sup>0</sup> and *d*<sup>0</sup> are gradually close to some certain values (i.e., their exact values), and are almost no

longer changed when the terms *n* reach around 14, which indicates that the undetermined constants *c*<sup>0</sup> and *d*<sup>0</sup> converge reasonably well. Therefore, we here show only the results of the coefficients *ci* and *di* when *n* ≤ 24, which are listed in Tables 2 and 3, and when *n* = 24, the variations of the coefficients *ci* and *di* with *i* (*i* = 0, 2, 4, ... , 24) are shown in Figures 7 and 8. From Figures 7 and 8, it can be seen that *c*<sup>24</sup> and *d*<sup>24</sup> are already very close to 0, which means that the values of *Sr* and *W* are already very close to their exact values when *n* = 24.

**Figure 5.** Variation of *c*<sup>0</sup> with *n*.

**Figure 6.** Variation of *d*<sup>0</sup> with *n*.


**Table 2.** (**a**) The values of *ci* at different *n*; (**b**) The values of *ci* at different *n*; (**c**) The values of *ci* at different *n*; (**d**) The value of *c*<sup>24</sup> at *n* = 24.



**Table 3.** (**a**) The values of *di* at different *n*; (**b**) The values of *di* at different *n*; (**c**) The values of *di* at different *n*; (**d**) The value of *d*<sup>24</sup> at *n* = 24.


**Table 3.** *Cont.*


**Figure 7.** The values of *ci* when *<sup>n</sup>* <sup>=</sup> 24: (**a**) for *<sup>i</sup>* <sup>=</sup> 0, 2, 4, 6, . . . , 24; (**b**) for *<sup>i</sup>* <sup>=</sup> 2, 4, 6, . . . , 24.

**Figure 8.** The values of *di* when *<sup>n</sup>* <sup>=</sup> 24: (**a**) for *<sup>i</sup>* <sup>=</sup> 0, 2, 4, 6, . . . , 24; (**b**) for *<sup>i</sup>* <sup>=</sup> 2, 4, 6, . . . , 24.

#### **4. Concluding Remarks**

In this paper, we analytically solved the problem of axisymmetric deformation and deflection of a circular membrane under liquid weight loading and presented the closedform solution for stress and deflection. The following conclusions can be drawn from this study:


under liquid self-weight loading may be treated as the well-known Hencky problem; the fluid–structure interaction may be neglected.


The work presented here could further be combined with the research and development of new rain gauges.

**Author Contributions:** Conceptualization, X.L. and J.-Y.S.; methodology, X.L. and J.-Y.S.; validation, X.-T.H.; writing—original draft preparation, X.L. and X.-C.L.; writing—review and editing, X.L. and X.-T.H.; visualization, X.L. and Z.-X.Y.; funding acquisition, J.-Y.S. All authors have read and agreed to the published version of the manuscript.

**Funding:** This research was funded by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 11772072).

**Institutional Review Board Statement:** Not applicable.

**Informed Consent Statement:** Not applicable.

**Data Availability Statement:** Not applicable.

**Conflicts of Interest:** The authors declare no conflict of interest.

#### **Nomenclatures**


### **Appendix A**

*<sup>c</sup>*<sup>2</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>*G*2(*H*0+*d*0) *c*<sup>2</sup> , *<sup>c</sup>*<sup>4</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>*G*3(*H*0+*d*0) *c*<sup>5</sup> (*GH*<sup>2</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*GH*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> *Gd*<sup>2</sup> <sup>−</sup> <sup>8</sup>*c*<sup>2</sup> ), *<sup>c</sup>*<sup>6</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup>*G*4(*H*0+*d*0) *c*<sup>8</sup> (*GH*<sup>2</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*GH*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> *Gd*<sup>2</sup> <sup>−</sup> <sup>8</sup>*c*<sup>2</sup> )(13*GH*<sup>2</sup> <sup>+</sup> <sup>26</sup>*GH*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>13</sup>*Gd*<sup>2</sup> <sup>−</sup> <sup>40</sup>*c*<sup>2</sup> ), *<sup>c</sup>*<sup>8</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup> *<sup>G</sup>*5(*H*0+*d*0) *c*<sup>11</sup> (*GH*<sup>2</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*GH*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> *Gd*<sup>2</sup> <sup>−</sup> <sup>8</sup>*c*<sup>2</sup> )(85*G*2*H*<sup>4</sup> <sup>+</sup> <sup>340</sup>*G*2*H*<sup>3</sup> *<sup>d</sup>*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>85</sup>*G*2*d*<sup>4</sup> +510*G*2*H*<sup>2</sup> *d*2 <sup>+</sup> <sup>340</sup>*G*2*H*0*d*<sup>3</sup> <sup>−</sup> <sup>510</sup>*GH*<sup>2</sup> *c*2 <sup>−</sup> <sup>1024</sup>*GH*0*c*<sup>2</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>512</sup>*Gc*<sup>2</sup> *d*2 <sup>+</sup> <sup>448</sup>*c*<sup>4</sup> ) , *<sup>c</sup>*<sup>10</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup> *<sup>G</sup>*6(*H*0+*d*0) *c*<sup>14</sup> (*GH*<sup>2</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*GH*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> *Gd*<sup>2</sup> <sup>−</sup> <sup>8</sup>*c*<sup>2</sup> )(925*G*3*H*<sup>6</sup> <sup>+</sup> <sup>5550</sup>*G*3*H*<sup>5</sup> *d*<sup>0</sup> +13875*G*3*H*<sup>4</sup> *d*2 <sup>+</sup> <sup>18500</sup>*G*3*H*<sup>3</sup> *d*3 <sup>+</sup> <sup>13875</sup>*G*3*H*<sup>2</sup> *d*4 <sup>+</sup> <sup>5550</sup>*G*3*H*0*d*<sup>5</sup> <sup>+</sup> <sup>925</sup>*G*3*d*<sup>6</sup> <sup>−</sup>8252*G*2*H*<sup>4</sup> *c*2 <sup>−</sup> <sup>33008</sup>*G*2*H*<sup>3</sup> *c*2 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>49512</sup>*G*2*H*<sup>2</sup> *c*2 *d*2 <sup>−</sup> <sup>33008</sup>*G*2*H*0*c*<sup>2</sup> *d*3 <sup>−</sup>8252*G*2*c*<sup>2</sup> *d*4 <sup>+</sup> <sup>17344</sup>*GH*<sup>2</sup> *c*4 <sup>+</sup> <sup>34688</sup>*GH*0*c*<sup>4</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>17344</sup>*Gc*<sup>4</sup> *d*2 <sup>−</sup> <sup>5376</sup>*c*<sup>6</sup> ) , *<sup>c</sup>*<sup>12</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup> *<sup>G</sup>*7(*H*0+*d*0) *c*<sup>17</sup> (*GH*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*GH*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> *Gd*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>8</sup>*c*<sup>0</sup> )(30125*G*4*H*<sup>0</sup> <sup>+</sup>241000*G*4*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>843500</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>1687000</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2108750</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>1687000*G*4*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>843500</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>241000</sup>*G*4*H*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>30125</sup>*G*4*d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>355344*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>−</sup> <sup>2132064</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>5330160</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>7106880*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>5330160</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>2132064</sup>*G*3*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>355344*G*3*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>1217664</sup>*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>+</sup> <sup>4870656</sup>*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>7305984*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>4870656</sup>*G*2*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>1217664</sup>*G*2*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> −1178624*GH*<sup>0</sup> *c*0 <sup>−</sup> <sup>2357248</sup>*GH*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>1178624</sup>*Gc*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>135168</sup>*c*<sup>0</sup> ) , *<sup>c</sup>*<sup>14</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup> *<sup>G</sup>*8(*H*0+*d*0) *c*<sup>0</sup> (*GH*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*GH*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> *Gd*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>8</sup>*c*<sup>0</sup> )(5481025*G*5*H*<sup>0</sup> <sup>+</sup>54810250*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>246646125</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>657723000</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>1151015250*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>1381218300</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>1151015250</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>657723000*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>246646125</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>54810250</sup>*G*5*H*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>5481025</sup>*G*5*d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>80340520*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>−</sup> <sup>642724160</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>2249534560</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>4499069120*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>5623836400</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>4499069120</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>2249534560*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>642724160</sup>*G*4*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>80340520</sup>*G*4*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>384915840*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>+</sup> <sup>2309495040</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>5773737600</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>7698316800*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>5773737600</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2309495040</sup>*G*3*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>384915840*G*3*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>674397184</sup>*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>−</sup> <sup>2697588736</sup>*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>4046383104*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>2697588736</sup>*G*2*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>674397184</sup>*G*2*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>334532608*GH*<sup>0</sup> *c*0 <sup>+</sup> <sup>669065216</sup>*GH*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>334532608</sup>*Gc*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>14057472</sup>*c*<sup>0</sup> ) *<sup>c</sup>*<sup>16</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup> *<sup>G</sup>*9(*H*0+*d*0) *c*<sup>0</sup> (*GH*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*GH*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> *Gd*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>8</sup>*c*<sup>0</sup> ) (165851725*G*6*H*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>1990220700</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>10946213850</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>36487379500*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>82096603875</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>131354566200</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>153246993900*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>131354566200</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>82096603875</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>36487379500*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>10946213850</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>1990220700</sup>*G*6*H*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>165851725*G*6*d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>2904572016</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *c*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>29045720160</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>130705740720*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>348548641920</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>609960123360*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>731952148032</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>609960123360*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>348548641920</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>130705740720*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>29045720160</sup>*G*5*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>2904572016*G*5*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>17934897216</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>+</sup>143479177728*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>502177122048</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>1004354244096*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>1255442805120</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>1004354244096*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>502177122048</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>143479177728*G*4*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>17934897216</sup>*G*4*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> 

,

```
−46544832512G3H0
                    6c0
                       6 − 279268995072G3H0
                                             5c0
                                                6d0
−698172487680G3H0
                     4c0
                        6d0
                           2 − 930896650240G3H0
                                                  3c0
                                                     6d0
                                                        3
−698172487680G3H0
                     2c0
                        6d0
                           4 − 279268995072G3H0c0
                                                    6d0
                                                       5
−46544832512G3c0
                   6d0
                      6 + 46777135104G2H0
                                            4c0
                                               8
+187108540416G2H0
                     3c0
                        8d0 + 280662810624G2H0
                                                 2c0
                                                    8d0
                                                       2
+187108540416G2H0c0
                       8d0
                          3 + 46777135104G2c0
                                               8d0
                                                  4
−12516261888GH0
                   2c0
                      10 − 25032523776GH0c0
                                             10d0
−12516261888Gc0
                  10d0
                      2 + 187432960c0
                                      12)
                                                          ,
c18 = − G10(H0+d0)
                        2
        11582861924829707108352000c26
                              0
                                (GH0
                                      2 + 2GH0d0 + Gd0
                                                        2 − 8c0
                                                               2)
(6440470375G7H0
                  14 + 90166585250G7H0
                                        13d0 + 586082804125G7H0
                                                                  12d0
                                                                      2
+2344331216500G7H0
                      11d0
                          3 + 6446910845375G7H0
                                                  10d0
                                                      4
+12893821690750G7H0
                       9d0
                          5 + 19340732536125G7H0
                                                   8d0
                                                      6
+22103694327000G7H0
                       7d0
                          7 + 19340732536125G7H0
                                                   6d0
                                                      8
+12893821690750G7H0
                       5d0
                          9 + 6446910845375G7H0
                                                  4d0
                                                     10
+2344331216500G7H0
                      3d0
                         11 + 586082804125G7H0
                                                 2d0
                                                    12
+90166585250G7H0d0
                      13 + 6440470375G7d0
                                           14
−131152225780G6H0
                     12c0
                         2 + 992711744640G5c0
                                              4d0
                                                  10
−1573826709360G6H0
                      11c0
                          2d0 − 8656046901480G6H0
                                                    10c0
                                                        2d0
                                                           2
−28853489671600G6H0
                       9c0
                          2d0
                             3 − 64920351761100G6H0
                                                      8c0
                                                         2d0
                                                            4
−103872562817760G6H0
                        7c0
                           2d0
                              5 − 121184656620720G6H0
                                                        6c0
                                                           2d0
                                                              6
−103872562817760G6H0
                        5c0
                           2d0
                              7 − 64920351761100G6H0
                                                       4c0
                                                          2d0
                                                             8
−28853489671600G6H0
                       3c0
                          2d0
                             9 − 8656046901480G6H0
                                                     2c0
                                                        2d0
                                                           10
−1573826709360G6H0c0
                        2d0
                           11 − 131152225780G6c0
                                                  2d0
                                                     12
+992711744640G5H0
                     10c0
                         4 + 9927117446400G5H0
                                                9c0
                                                   4d0
+44672028508800G5H0
                       8c0
                          4d0
                             2 + 119125409356800G5H0
                                                       7c0
                                                          4d0
                                                             3
+208469466374400G5H0
                        6c0
                           4d0
                              4 + 250163359649280G5H0
                                                        5c0
                                                           4d0
                                                              5
+208469466374400G5H0
                        4c0
                           4d0
                              6 + 119125409356800G5H0
                                                        3c0
                                                           4d0
                                                              7
+44672028508800G5H0
                       2c0
                          4d0
                             8 + 9927117446400G5H0c0
                                                       4d0
                                                          9
−3445151675648G4H0
                      8c0
                         6 − 27561213405184G4H0
                                                  7c0
                                                     6d0
−96464246918144G4H0
                       6c0
                          6d0
                             2 + 5444708495360G3H0
                                                     6c0
                                                        8
−192928493836288G4H0
                        5c0
                           6d0
                              3 − 241160617295360G4H0
                                                        4c0
                                                           6d0
                                                              4
−192928493836288G4H0
                        3c0
                           6d0
                              5 − 96464246918144G4H0
                                                       2c0
                                                          6d0
                                                             6
−27561213405184G4H0c0
                         6d0
                            7 − 3445151675648G4c0
                                                   6d0
                                                      8
+32668250972160G3H0
                       5c0
                          8d0 + 81670627430400G3H0
                                                     4c0
                                                        8d0
                                                           2
+108894169907200G3H0
                        3c0
                           8d0
                              3 + 81670627430400G3H0
                                                       2c0
                                                          8d0
                                                             4
+32668250972160G3H0c0
                         8d0
                            5 + 5444708495360G3c0
                                                   8d0
                                                      6
−3333820760064G2H0
                      4c0
                         10 + 493015269376GH0
                                                2c0
                                                  12
−13335283040256G2H0
                       3c0
                          10d0 − 20002924560384G2H0
                                                      2c0
                                                         10d0
                                                             2
−13335283040256G2H0c0
                         10d0
                             3 − 3333820760064G2c0
                                                    10d0
                                                        4
+986030538752GH0c0
                      12d0 + 493015269376Gc0
                                              12d0
                                                  2 − 2549088256c0
                                                                   14)
                                                                        ,
c20 = − G11(H0+d0)
                         2
        40771673975400569021399040000c29
                                 0
                                   (GH0
                                        2 + 2GH0d0 + Gd0
                                                          2 − 8c0
                                                                 2)
(624247690625G8H0
                    16 + 9987963050000G8H0
                                             15d0 + 74909722875000G8H0
                                                                         14d0
                                                                             2
+349578706750000G8H0
                        13d0
                            3 + 1136130796937500G8H0
                                                       12d0
                                                           4
+2726713912650000G8H0
                         11d0
                             5 + 8034067778343750G8H0
                                                         8d0
                                                            8
+4998975506525000G8H0
                         10d0
                             6 + 7141393580750000G8H0
                                                         9d0
                                                            7
+7141393580750000G8H0
                         7d0
                             9 + 4998975506525000G8H0
                                                        6d0
                                                           10
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### **Appendix B**

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*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>123000</sup>*G*4*H*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>15375</sup>*G*4*d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>145364*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>−</sup> <sup>872184</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>872184</sup>*G*3*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>2180460*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>2907280</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>2180460</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>145364*G*3*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>360864</sup>*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>+</sup> <sup>1443456</sup>*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>2165184*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>1443456</sup>*G*2*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>360864</sup>*G*2*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> −194304*GH*<sup>0</sup> *c*0 <sup>−</sup> <sup>388608</sup>*GH*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>194304</sup>*Gc*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2048</sup>*c*<sup>0</sup> ) , *<sup>d</sup>*<sup>14</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup> *<sup>G</sup>*7(*H*0+*d*0) *c*<sup>0</sup> (*GH*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*GH*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> *Gd*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>8</sup>*c*<sup>0</sup> )(1278825*G*5*H*<sup>0</sup> <sup>+</sup>12788250*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>57547125</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>153459000</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>268553250*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>322263900</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>268553250</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>153459000*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>57547125</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>12788250</sup>*G*5*H*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>1278825*G*5*d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>15624872</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>−</sup> <sup>124998976</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>437496416*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>874992832</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>1093741040*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>874992832</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>437496416*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>124998976</sup>*G*4*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>15624872*G*4*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>58775168</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>+</sup> <sup>352651008</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>881627520*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>1175503360</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>881627520*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>352651008</sup>*G*3*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>58775168*G*3*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>71685120</sup>*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>−</sup>286740480*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>430110720</sup>*G*2*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>286740480*G*2*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>71685120</sup>*G*2*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>17813504</sup>*GH*<sup>0</sup> *c*0 <sup>+</sup>35627008*GH*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>17813504</sup>*Gc*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>32768</sup>*c*<sup>0</sup> ) , *<sup>d</sup>*<sup>16</sup> <sup>=</sup> <sup>−</sup> *<sup>G</sup>*8(*H*0+*d*0) *c*<sup>0</sup> (*GH*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*GH*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> *Gd*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>8</sup>*c*<sup>0</sup> ) (71612125*G*6*H*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>859345500</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>4726400250</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>15754667500*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>35448001875</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>56716803000</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>66169603500*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>56716803000</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>35448001875</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>15754667500*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>4726400250</sup>*G*6*H*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>859345500</sup>*G*6*H*0*d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>71612125*G*6*d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>1074406560</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *c*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>10744065600</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>48348295200*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>128928787200</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>225625377600*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>270750453120</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>225625377600*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>128928787200</sup>*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>48348295200*G*5*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>305919828480</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup>10744065600*G*5*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>1074406560</sup>*G*5*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>5462854080</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 <sup>+</sup>43702832640*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>152959914240</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>382399785600*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>305919828480</sup>*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>152959914240*G*4*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>217917767680</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup>43702832640*G*4*H*0*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>5462854080</sup>*G*4*c*<sup>0</sup> *d*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>10895888384</sup>*G*3*H*<sup>0</sup> *c*0 

,

```
−65375330304G3H0
                    5c0
                       6d0 − 163438325760G3H0
                                                4c0
                                                  6d0
                                                      2
−163438325760G3H0
                     2c0
                        6d0
                           4 − 65375330304G3H0c0
                                                  6d0
                                                      5
−10895888384G3c0
                   6d0
                      6 + 43822227456G2H0
                                            2c0
                                               8d0
                                                  2
+7303704576G2H0
                   4c0
                      8 + 29214818304G2H0
                                           3c0
                                              8d0
+29214818304G2H0c0
                      8d0
                         3 + 7303704576G2c0
                                            8d0
                                                4 − 866254848GH0
                                                                  2c0
                                                                     10
−1732509696GH0c0
                    10d0 − 866254848Gc0
                                        10d0
                                            2 + 262144c0
                                                         12)
                                                                        ,
d18 = − G9(H0+d0)
        289571548120742677708800c0
                              25 (GH0
                                     2 + 2GH0d0 + Gd0
                                                       2 − 8c0
                                                              2)
(2596581625G7H0
                  14 + 36352142750G7H0
                                        13d0 + 236288927875G7H0
                                                                  12d0
                                                                      2
+945155711500G7H0
                     11d0
                         3 + 2599178206625G7H0
                                                 10d0
                                                     4
+5198356413250G7H0
                      9d0
                         5 + 7797534619875G7H0
                                                 6d0
                                                    8
+7797534619875G7H0
                      8d0
                         6 + 8911468137000G7H0
                                                 7d0
                                                    7
+5198356413250G7H0
                      5d0
                         9 + 2599178206625G7H0
                                                 4d0
                                                    10
+236288927875G7H0
                     2d0
                        12 + 36352142750G7H0d0
                                                 13
−46223906500G6H0
                    12c0
                        2 − 554686878000G6H0
                                              11c0
                                                  2d0
−3050777829000G6H0
                      10c0
                          2d0
                             2 + 2596581625G7d0
                                                 14 + 945155711500G7H0
                                                                        3d0
                                                                           11
−10169259430000G6H0
                       9c0
                          2d0
                             3 − 22880833717500G6H0
                                                      8c0
                                                         2d0
                                                            4
−36609333948000G6H0
                       7c0
                          2d0
                             5 − 42710889606000G6H0
                                                      6c0
                                                         2d0
                                                            6
−36609333948000G6H0
                       5c0
                          2d0
                             7 − 22880833717500G6H0
                                                      4c0
                                                         2d0
                                                            8
−10169259430000G6H0
                       3c0
                          2d0
                             9 − 3050777829000G6H0
                                                     2c0
                                                        2d0
                                                           10
−554686878000G6H0c0
                       2d0
                          11 − 46223906500G6c0
                                                2d0
                                                   12
+297379154880G5H0
                     10c0
                         4 + 2973791548800G5H0
                                                 9c0
                                                   4d0
+13382061969600G5H0
                       8c0
                          4d0
                             2 + 35685498585600G5H0
                                                      7c0
                                                         4d0
                                                            3
+62449622524800G5H0
                       6c0
                          4d0
                             4 + 74939547029760G5H0
                                                      5c0
                                                         4d0
                                                            5
+62449622524800G5H0
                       4c0
                          4d0
                             6 + 35685498585600G5H0
                                                      3c0
                                                         4d0
                                                            7
+13382061969600G5H0
                       2c0
                          4d0
                             8 + 2973791548800G5H0c0
                                                       4d0
                                                          9
+297379154880G5c0
                    4d0
                       10 − 838832062208G4H0
                                               8c0
                                                  6
−6710656497664G4H0
                      7c0
                         6d0 − 23487297741824G4H0
                                                    6c0
                                                       6d0
                                                          2
−46974595483648G4H0
                       5c0
                          6d0
                             3 − 58718244354560G4H0
                                                      4c0
                                                         6d0
                                                            4
−46974595483648G4H0
                       3c0
                          6d0
                             5 − 23487297741824G4H0
                                                      2c0
                                                         6d0
                                                            6
−6710656497664G4H0c0
                        6d0
                           7 − 838832062208G4c0
                                                 6d0
                                                    8
+995841536000G3H0
                     6c0
                        8 + 5975049216000G3H0
                                                5c0
                                                   8d0
+14937623040000G3H0
                       4c0
                          8d0
                             2 + 19916830720000G3H0
                                                      3c0
                                                         8d0
                                                            3
+14937623040000G3H0
                       2c0
                          8d0
                             4 + 5975049216000G3H0c0
                                                       8d0
                                                          5
+995841536000G3c0
                    8d0
                       6 − 388074553344G2H0
                                              4c0
                                                 10
−1552298213376G2H0
                      3c0
                         10d0 − 2328447320064G2H0
                                                    2c0
                                                       10d0
                                                           2
−1552298213376G2H0c0
                        10d0
                            3 − 388074553344G2c0
                                                  10d0
                                                      4
+22064398336GH0
                   2c0
                      12 + 44128796672GH0c0
                                             12d0
+22064398336Gc0
                  12d0
                      2 − 1048576c0
                                   14)
d20 = − G10(H0+d0)
        463314476993188284334080000c0
                                28 (GH0
                                        2 + 2GH0d0 + Gd0
                                                          2 − 8c0
                                                                 2)
(118334925625G8H0
                    16 + 1893358810000G8H0
                                             15d0
+14200191075000G8H0
                       14d0
                           2 + 66267558350000G8H0
                                                    13d0
                                                        3
+215369564637500G8H0
                        12d0
                            4 + 516886955130000G8H0
                                                      11d0
                                                          5
+947626084405000G8H0
                        10d0
                            6 + 1353751549150000G8H0
                                                       9d0
                                                           7
+1522970492793750G8H0
                         8d0
                             8 + 1353751549150000G8H0
                                                        7d0
                                                           9
+947626084405000G8H0
                        6d0
                           10 + 516886955130000G8H0
                                                      5d0
                                                         11
+215369564637500G8H0
                        4d0
                           12 + 1893358810000G8H0d0
                                                      15
+66267558350000G8H0
                       3d0
                          13 + 14200191075000G8H0
                                                    2d0
                                                       14
+118334925625G8d0
                    16 − 2438867435750G7H0
                                             14c0
                                                 2
−34144144100500G7H0
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