*3.2. Newton's Method*

Applying Newton's method on the system shown in Equations (26)–(30) to obtains:

$$h\delta F\_j - \delta F\_{j-1} - \frac{1}{2}h\_j(\delta w\_j + \delta w\_{j-1}) = (r\_1)\_{j-1/2} \tag{33}$$

$$
\delta w\_j - \delta w\_{j-1} - \frac{1}{2} h\_j \{ \delta z\_j + \delta z\_{j-1} \} = (r\mathbf{\hat{z}})\_{j-1/2} \tag{34}
$$

$$
\delta \otimes\_{j} - \delta g\_{j-1} - \frac{1}{2} h\_{j} (\delta p\_{j} + \delta p\_{j-1}) = (r\_3)\_{j-1/2} \tag{35}
$$

$$\begin{aligned} (a\_1)\_j \delta z\_j + (a\_2)\_j \delta z\_{j-1} + (a\_3)\_j \delta F\_j + (a\_4)\_j \delta F\_{j-1} + (a\_5)\_j \delta w\_j \\ + (a\_6)\_j \delta w\_{j-1} + (a\_7)\_j \delta g\_j + (a\_8)\_j \delta g\_{j-1} = (r\_4)\_{j-1/2} \end{aligned} \tag{36}$$

$$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} b\_1 \end{matrix} \right)\_j \delta p\_j + \left( b\_2 \right)\_j \delta p\_{j-1} + \left( b\_3 \right)\_j \delta F\_j + \left( b\_4 \right)\_j \delta F\_{j-1} + \left( b\_5 \right)\_j \delta w\_j \\ + \left( b\_6 \right)\_j \delta w\_{j-1} + \left( b\_7 \right)\_j \delta g\_j + \left( b\_8 \right)\_j \delta g\_{j-1} = \left( r\_5 \right)\_{j-1/2} \end{matrix} \tag{37}$$

where


(*<sup>a</sup>*1)*j* = ⎡⎢⎢⎢⎢⎣ ρ*f* ρ*n f* 1 (1 − χ)2.5 1 + 1β + *hj* (*A* + α) 2 *Fj*−1/2 − α2 *F<sup>n</sup>*−<sup>1</sup> *j*−1/2⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (*<sup>a</sup>*2)*j* = ⎡⎢⎢⎢⎢⎣(*a*1)*j* − 2 ρ*f* ρ*n f* 1 (1 − χ)2.5 1 + 1β⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (*<sup>a</sup>*3)*j* = *hj*(*A* + α) 2 *zj*−1/2 + α2 *zn*−<sup>1</sup> *j*−1/2 (*<sup>a</sup>*4)*j* = (*<sup>a</sup>*3)*j* (*<sup>a</sup>*5)*j* = *hj*−(<sup>1</sup> + <sup>α</sup>)*wj*−1/2 − 12 ρ*f* σ*n f* ρ*n f* <sup>σ</sup>*f M* (*<sup>a</sup>*6)*j* = (*<sup>a</sup>*5)*j* (*<sup>a</sup>*7)*j* = *hj* ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ2 ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝χρ*s*<sup>β</sup>*s*/β*f* + (1 − <sup>χ</sup>)ρ*f* (1 − <sup>χ</sup>)ρ*f* + χρ*s* ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ sin *xn*−1*l*<sup>2</sup> *xn*−1*l*<sup>2</sup> ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (*<sup>a</sup>*8)*j* = (*<sup>a</sup>*7)*j* (38) *b*1*j* = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 1Pr *kn f* /*k f* (1 − <sup>χ</sup>)(ρ*Cp*)*f* + χ<sup>ρ</sup>*cps*/<sup>ρ</sup>*cpf* + *hj* (*A* + α) 2 *Fj*−1/2 − α2 *F<sup>n</sup>*−<sup>1</sup> *j*−1/2⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ *b*2*j* = ) 2Pr − *b*1*j*\* *b*3*j* = *hj*(*A* + α) 2 *pj*−1/2 + α2 *p<sup>n</sup>*−<sup>1</sup> *j*−1/2 *b*4*j* = *b*3*j b*5*j* = *hj*)−α2 *gj*−1/2 + α2 *g<sup>n</sup>*−<sup>1</sup> *<sup>j</sup>*−1/2\**hj b*6*j*= *b*5*j*

$$\left(b\_7\right)\_j = h\_j \left[ -\frac{\alpha}{2} w\_{j - 1/2} - \frac{\alpha}{2} h\_j w\_{j - 1/2}^{n - 1} \right]\_j$$

*b*8*j* = *b*7*j* (39) (*<sup>r</sup>*1)*j*−1/2 = *Fj*−<sup>1</sup> − *Fj* + *hjwj*−1/2 (*<sup>r</sup>*2)*j*−1/2 = *wj*−<sup>1</sup> − *wj* + *hjzj*−1/2 (*<sup>r</sup>*3)*j*−1/2 = *gj*−<sup>1</sup> − *gj* + *hjpj*−1/2 (*<sup>r</sup>*4)*j*−1/2 = ρ*f* ρ*n f* 1 (<sup>1</sup>−<sup>χ</sup>)2.5 -1 + 1β *zj*−<sup>1</sup> − *zj* − (*A* + α)*hj Fj*−1/2*zj*−1/2 <sup>+</sup>*hj*α*zj*−1/2*Fn*−<sup>1</sup> *j*−1/2 − α*zn*−<sup>1</sup> *<sup>j</sup>*−1/2*Fj*−1/2 − 94 sin *xn*−1*l*<sup>2</sup> cos *xn*−1*l*<sup>2</sup> *xn*−1*l*<sup>2</sup> − *hj* χρ*s*(β*s*/β*f*)+(<sup>1</sup>−<sup>χ</sup>)ρ*<sup>f</sup>* (<sup>1</sup>−<sup>χ</sup>)ρ*<sup>f</sup>* +χρ*s* λ2 sin *xn*−1*l*<sup>2</sup> *xn*−1*l*<sup>2</sup> *gj*−1/2 + *hj*(1 + <sup>α</sup>)*w*2*j*−1/2 + ρ*f* <sup>σ</sup>*n f* ρ*n f* <sup>σ</sup>*f Mwj*−1/2 + (*<sup>R</sup>*1)*<sup>n</sup>*−<sup>1</sup> *j*−1/2 (*<sup>r</sup>*5)*j*−1/2 = 1Pr *kn f* /*k f* (<sup>1</sup>−<sup>χ</sup>)(ρ*Cp*)*f* <sup>+</sup>χ(ρ*cp*)*s*/(ρ*cp*)*fpj*−<sup>1</sup> − *pj* −(*<sup>A</sup>* + <sup>α</sup>)*hjFj*−1/2*pj*−1/2 − α*hjpn*−<sup>1</sup> *<sup>j</sup>*−1/2*Fj*−1/2 + <sup>α</sup>*hjpj*−1/2*Fn*−<sup>1</sup> *j*−1/2 <sup>+</sup>α*hjwj*−1/2 *gj*−1/2 − <sup>α</sup>*hjwj*−1/2 *g<sup>n</sup>*−<sup>1</sup> *j*−1/2 + α*hjwn*−<sup>1</sup> *j*−1/2 *gj*−1/2 + (*<sup>R</sup>*2)*<sup>n</sup>*−<sup>1</sup> *j*−1/2 (40)
