**Appendix B**

According to Equations (17)–(20) and Equation (50), we have

$$\begin{array}{lcl}r\_{L,k}^{(i)} &= r\_{kk-1}^{(i)} \frac{1 - \left\langle p\_{kk-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_k), p\_{D,k} \right\rangle}{1 - r\_{kk-1}^{(i)} (p\_{kk-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_k), p\_{D,k})}\\ &= r\_{kk-1}^{(i)} \frac{1 - \left\langle \sum\_{m=1}^{nc} p\_{kk-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_k | \mathbf{x}^m, \mathsf{Z}^{k-1}) p\_{kk-1}^{(i)}(\mathbf{x}^m | \mathsf{Z}^{k-1}), p\_{D,k} \right\rangle}{1 - r\_{kk-1}^{(i)} (\sum\_{m=1}^{nc} p\_{kk-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_k | \mathbf{x}^m, \mathsf{Z}^{k-1}) p\_{kk-1}^{(i)}(\mathbf{x}^m | \mathsf{Z}^{k-1}), p\_{D,k} \right\rangle} \\ &= r\_{kk-1}^{(i)} \frac{1 - \sum\_{m=1}^{nc} p\_{kk-1}^{(i)}(c^m |\mathsf{Z}^{k-1}) \left\langle p\_{kk-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_k | \mathbf{x}^m, \mathsf{Z}^{k-1}), p\_{D,k} \right\rangle}{1 - r\_{kk-1}^{(i)} - \sum\_{m=1}^{nc} p\_{k|k-1}^{(i)}(c^m |\mathsf{Z}^{k-1}) \left\langle p\_{kk-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_k | \mathbf{x}^m, \mathsf{Z}^{k-1}), p\_{D,k} \right\rangle} \end{array} \tag{A.3}$$

$$\begin{split} p\_{L,k}^{(i)}(\mathbf{x}\_{k} \mid \mathbf{Z}^{k}) &= p\_{k|k-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_{k}|\mathbf{Z}^{k-1}) \frac{1 - p\_{D,k}}{1 - \left\langle p\_{i|k-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_{k}|\mathbf{Z}^{k-1}), p\_{D,k} \right\rangle} \\ &= \sum\_{m=1}^{\frac{n\_{c}}{2}} p\_{k|k-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_{k}|\mathbf{c}^{m}, \mathbf{Z}^{k-1}) p\_{i|k-1}^{(i)}(\mathbf{c}^{m}|\mathbf{Z}^{k-1}) \frac{1 - p\_{D,k}}{1 - \left\langle \sum\_{m=1}^{\frac{n\_{c}}{2}} p\_{i|k-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_{k}|\mathbf{Z}^{k-1}) p\_{i|k-1}^{(i)}(\mathbf{c}^{m}|\mathbf{Z}^{k-1}), p\_{D,k} \right\rangle} \\ &= \sum\_{m=1}^{\frac{n\_{c}}{2}} p\_{k|k-1}^{(i)}(\mathbf{c}^{m}|\mathbf{Z}^{k-1}) \frac{1 - p\_{D,k}}{1 - \sum\_{m=1}^{\frac{n\_{c}}{2}} p\_{i|k-1}^{(i)}(\mathbf{c}^{m}|\mathbf{Z}^{k-1}) \left\langle p\_{i|k-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_{k}|\mathbf{z}^{m}, \mathbf{Z}^{k-1}), p\_{D,k} \right\rangle} p\_{i|k-1}^{(i)}(\mathbf{x}\_{k}|\mathbf{c}^{m}, \mathbf{Z}^{k-1}) \end{split} \tag{A4}$$

*r*∗ *U*,*k* ('*z*) = \$*Mk*|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 (1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 ) ! *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|Z*k*−1),*gk*('*z*|*xk*)*pD*,*<sup>k</sup>* " % 1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 ! *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|Z*k*−1),*pD*,*<sup>k</sup>* "&2 <sup>κ</sup>('*z*)+\$*Mk*|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 ! *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|Z*k*−1),*gk*('*z*|*xk*)*pD*,*<sup>k</sup>* " 1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 ! *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|Z*k*−1),*pD*,*<sup>k</sup>* " = \$*Mk*|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 (1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 ) . *n* \$c *m*=1 *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|*cm*,Z*k*−1)*<sup>p</sup>* (*i*) *k*|*k*−1 (*cm*|Z*k*−1),*g*<sup>k</sup> *<sup>k</sup>* (*xk*)*g*<sup>c</sup> *k* (*xk*,*cm*)*pD*,*<sup>k</sup>* / ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 . *n* \$c *m*=1 *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|*cm*,Z*k*−1)*<sup>p</sup>* (*i*) *k*|*k*−1 (*cm*|Z*k*−1),*pD*,*<sup>k</sup>* /⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ 2 <sup>κ</sup>('*z*)+\$*Mk*|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 . *n* \$c *m*=1 *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|*cm*,Z*k*−1)*<sup>p</sup>* (*i*) *k*|*k*−1 (*cm*|Z*k*−1),*g*<sup>k</sup> *<sup>k</sup>* (*xk*)*g*<sup>c</sup> *k* (*xk*,*cm*)*pD*,*<sup>k</sup>* / 1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 . *n* \$c *m*=1 *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|*cm*,Z*k*−1)*<sup>p</sup>* (*i*) *k*|*k*−1 (*cm*|Z*k*−1),*pD*,*<sup>k</sup>* / = \$*Mk*|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 (1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 ) *n* \$c *m*=1 *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*cm*|Z*k*−1) ! *p* k,(*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|*cm*,Z*k*−1),*g*<sup>k</sup> *<sup>k</sup>* (*xk*)*g*<sup>c</sup> *k* (*xk*,*cm*)*pD*,*<sup>k</sup>* " ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎝1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 *n* \$c *m*=1 *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*cm*|Z*k*−1) ! *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|*cm*,Z*k*−1),*pD*,*<sup>k</sup>* "⎞ ⎟⎟⎟⎟⎠ 2 <sup>κ</sup>('*z*)+\$*Mk*|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 *n* \$c *m*=1 *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*cm*|Z*k*−1) ! *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|*cm*,Z*k*−1),*g*<sup>k</sup> *<sup>k</sup>* (*xk*)*g*<sup>c</sup> *k* (*xk*,*cm*)*pD*,*<sup>k</sup>* " 1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 *n* \$c *m*=1 *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*cm*|Z*k*−1) ! *p* k,(*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|*cm*,Z*k*−1),*pD*,*<sup>k</sup>* " (A5) *p*∗ *U*,*k* (*xk*;'*z*) = *Mk* \$|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|Z*k*−1)*pD*,*<sup>k</sup> <sup>g</sup>*<sup>k</sup> *<sup>k</sup>* (*xk*)*g*<sup>c</sup> *k* (*xk*,*cm*) 1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 *Mk* \$|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 ! *p* (*i*) *<sup>k</sup>*|*k*−1(*xk*|Z*k*−1),*pD*,*kg*<sup>k</sup> *<sup>k</sup>* (*xk*)*g*<sup>c</sup> *k* (*xk*,*cm*) " = *Mk* \$|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 *n* \$c *m*=1 *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|*cm*,Z*k*−1)*<sup>p</sup>* (*i*) *k*|*k*−1 (*cm*|Z*k*−1)*pD*,*<sup>k</sup> <sup>g</sup>*<sup>k</sup> *<sup>k</sup>* (*xk*)*g*<sup>c</sup> *k* (*xk*,*cm*) 1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 *Mk* \$|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 . *n* \$c *m*=1 *p* (*i*) *<sup>k</sup>*|*k*−1(*xk*|*cm*,Z*k*−1)*<sup>p</sup>* (*i*) *<sup>k</sup>*|*k*−1(*cm*|Z*k*−1),*pD*,*kg*<sup>k</sup> *<sup>k</sup>* (*xk*)*g*<sup>c</sup> *k* (*xk*,*cm*) / = \$*nc m*=1 *Mk* \$|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 *p* (*i*) *k*|*k*−1 (*xk*|*cm*,Z*k*−1)*<sup>p</sup>* (*i*) *k*|*k*−1 (*cm*|Z*k*−1)*pD*,*<sup>k</sup> <sup>g</sup>*<sup>k</sup> *<sup>k</sup>* (*xk*)*g*<sup>c</sup> *k* (*xk*,*cm*) 1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 *Mk* \$|*k*−<sup>1</sup> *i*=1 *r* (*i*) *k*|*k*−1 1−*r* (*i*) *k*|*k*−1 . *n* \$c *m*=1 *p* (*i*) *<sup>k</sup>*|*k*−1(*xk*|*cm*,Z*k*−1)*<sup>p</sup>* (*i*) *<sup>k</sup>*|*k*−1(*cm*|Z*k*−1),*pD*,*kg*<sup>k</sup> *<sup>k</sup>* (*xk*)*g*<sup>c</sup> *k* (*xk*,*cm*) / (A6)
