1. **Skeptical private sector**

(a) **No ambiguity** (*m* = *m<sup>s</sup>* , *n*∗ = 1, *n*∗∗ = 1, *ε* = 0).

E*t*Ξ*<sup>k</sup> <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>=</sup> <sup>E</sup>*<sup>t</sup> ςk t*+1 <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*, 0) *ms t*+1 (1 + [(1 − *γ*) + *γϑt*+1]Φ*t*) = E*tς<sup>k</sup> <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)E*tς<sup>k</sup> t*+1 1 *ms t*+1 (1 + [(1 − *γ*) + *γϑt*+1)]Φ*<sup>t</sup>* ≤ 1 − *f*(Φ*t*, 0) E*tς<sup>k</sup> t*+1 E*tm<sup>s</sup> t*+1 <sup>−</sup> (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ*<sup>t</sup> <sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)E*tς<sup>k</sup> t*+1 <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*Φ*<sup>t</sup> <sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)E*tς<sup>k</sup> <sup>t</sup>*+1E*tϑt*+<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*Φ*<sup>t</sup> <sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)*cov*(*ς<sup>k</sup>* , *ϑ*) = 1 − *f*(Φ*t*, 0) 1 + Φ*<sup>t</sup>* - <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*([E*tϑt*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *<sup>ϑ</sup>*)] = −*γ*Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0) <sup>E</sup>*tϑt*+<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>ϑ</sup><sup>t</sup>* <sup>+</sup> *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *ϑ*) <sup>=</sup> <sup>E</sup>*t*Ξ*k*−*RE <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>&</sup>lt; 0, <sup>Φ</sup>*<sup>t</sup>* <sup>&</sup>gt; 0, <sup>∀</sup>*<sup>t</sup>* = 0, Φ*<sup>t</sup>* = 0 ∀*t*. (A19)

$$\text{(b)}\qquad \text{Polltical planner } (m=m^\*, n^\*=1, n^{\*\*}=n^{\text{PO}}, \varepsilon=0).$$

<sup>E</sup>*t*Ξ*k*−*PO <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>=</sup> <sup>E</sup>*<sup>t</sup> ςk t*+1 <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0) *nPO t*+1 *ms t*+1 [<sup>1</sup> + [<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *γϑt*+1]Φ¯ ] = E*tς<sup>k</sup> <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0) <sup>1</sup> + (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ¯ <sup>E</sup>*tς<sup>k</sup> t*+1 *nPO t*+1 *ms t*+1 + *γ*Φ¯ E*tς<sup>k</sup> t*+1 *nPO t*+1 *ms t*+1 *ϑt*+<sup>1</sup> <sup>≤</sup> <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0) 1 + Φ¯ - <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*[E*tϑt*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *ϑ*) <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*Φ¯ *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0)*cov*(*nPO*, *<sup>ς</sup>kϑ*) <sup>−</sup> (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ¯ *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0)*cov*(*nPO*, *<sup>ς</sup>k*) <sup>=</sup> <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0) 1 + - <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*E*tϑt*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>cov*(*ς<sup>k</sup>* , *ϑ*) Φ¯ <sup>−</sup> <sup>Φ</sup>¯ *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0) (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*nPO*, *<sup>ς</sup>k*) + *<sup>γ</sup>cov*(*nPO*, *<sup>ς</sup>kϑ*) <sup>=</sup> <sup>E</sup>*t*Ξ*k*−*RE <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>−</sup> <sup>Φ</sup>¯ *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0) (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*nPO*, *<sup>ς</sup>k*) + *<sup>γ</sup>cov*(*nPO*, *<sup>ς</sup>kϑ*) <sup>≤</sup> <sup>E</sup>*t*Ξ*k*−*RE <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>&</sup>lt; 0, <sup>Φ</sup>¯ <sup>&</sup>gt; 0, = 0, Φ¯ = 0. (A20)

(c) **Paternalistic planner** (*m* = *m<sup>s</sup>* , *n*<sup>∗</sup> = *nPA*, *n*∗∗ = 1, *ε* = 0).

<sup>E</sup>*t*Ξ*k*−*PA <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>=</sup> <sup>E</sup>*tς<sup>k</sup> <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)E*<sup>t</sup> ςk t*+1 *ms t*+1 (<sup>1</sup> + [(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*) + *γϑt*+1]*nPA <sup>t</sup>*+1Φ*<sup>t</sup>* ≤ 1 − *f*(Φ*t*, 0) E*tς<sup>k</sup> t*+1 E*tm<sup>s</sup> t*+1 <sup>+</sup> <sup>Φ</sup>*t*(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)E*tς<sup>k</sup> t*+1 E*tnPA t*+1 E*tm<sup>s</sup> t*+1 − *γ*Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0) E*tς<sup>k</sup> t*+1 E*tnPA t*+1 E*tm<sup>s</sup> t*+1 E*tϑt*+<sup>1</sup> + *cov*(*nPA*, *<sup>ς</sup>kϑ*) + *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *ϑ*) <sup>−</sup> (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ*<sup>t</sup> <sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)*cov*(*nPA*, *<sup>ς</sup>k*) = 1 − *f*(Φ*t*, 0) 1 + Φ*<sup>t</sup>* - <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*[E*tϑt*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>cov*(*ς<sup>k</sup>* , *<sup>ϑ</sup>*)] − Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0) (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*nPA*, *<sup>ς</sup>k*) + *<sup>γ</sup>cov*(*nPA*, *<sup>ς</sup>kϑ*) <sup>=</sup> <sup>E</sup>*t*Ξ*k*−*RE <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>−</sup> <sup>Φ</sup>*<sup>t</sup> <sup>f</sup>*(Φ*t*, 0) (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*nPA*, *<sup>ς</sup>k*) + *<sup>γ</sup>cov*(*nPA*, *<sup>ς</sup>kϑ*) <sup>≤</sup> <sup>E</sup>*t*Ξ*k*−*RE <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>&</sup>lt; 0, <sup>Φ</sup>*<sup>t</sup>* <sup>&</sup>gt; 0, <sup>∀</sup>*<sup>t</sup>* = 0, Φ*<sup>t</sup>* = 0, ∀*t*. (A21)

(d) **Pessimistic planner** (*m* = *m<sup>s</sup>* , *n*<sup>∗</sup> = *<sup>m</sup><sup>p</sup> <sup>n</sup><sup>p</sup>* , *<sup>n</sup>*∗∗ = *<sup>n</sup>p*, *<sup>ε</sup>* = 0)

<sup>E</sup>*t*Ξ*k*−*R*−*<sup>s</sup> <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>=</sup> <sup>E</sup>*<sup>t</sup> ςk t*+1 1 − *f*(Φ*t*, 0) *np t*+1 *ms t*+1 1 + [1 − *γ* + *γϑt*+1] *mp t*+1 *np t*+1 Φ*t* = E*tς<sup>k</sup> <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> − *f*(Φ*t*, 0) E*t np t*+1 *ms t*+1 *ςk <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> <sup>Φ</sup>*t*E*t*(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *γϑt*+1) *mp t*+1*ς<sup>k</sup> t*+1 *ms t*+1 ≤ 1 − *f*(Φ*t*, 0) 1 + *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *<sup>n</sup>p*)+(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ*t*(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *<sup>m</sup>p*)) − *γ*Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0) E*tϑt*+<sup>1</sup> + *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *ϑ*) + *cov*(*ϑ*, *mpςk*) = 1 − *f*(Φ*t*, 0) 1 + Φ*<sup>t</sup>* - <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*[E*tϑt*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *<sup>ϑ</sup>*)] <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)[*cov*(*ς<sup>k</sup>* , *<sup>n</sup>p*)+(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ*tcov*(*ς<sup>k</sup>* , *<sup>m</sup>p*)] <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*Φ*<sup>t</sup> <sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)*cov*(*ϑ*, *<sup>ς</sup><sup>e</sup> mp*)] <sup>=</sup> <sup>E</sup>*t*Ξ*k*−*RE <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)[*cov*(*ς<sup>k</sup>* , *<sup>n</sup>p*)+(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*ς<sup>k</sup>* , *mp*)] <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*Φ*<sup>t</sup> <sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)*cov*(*ϑ*, *<sup>ς</sup><sup>e</sup> <sup>m</sup>p*) <sup>≤</sup> 0, <sup>Φ</sup>*<sup>t</sup>* <sup>≥</sup> <sup>0</sup> <sup>=</sup> <sup>E</sup>*t*Ξ*k*−*RE <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>−</sup> *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *<sup>n</sup>p*) <sup>−</sup> (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*ς<sup>k</sup>* , *<sup>m</sup>p*) <sup>≤</sup> 0, <sup>Φ</sup>*<sup>t</sup>* <sup>=</sup> 0. (A22)

#### 2. **Pessimistic consumers**

(a) **Pessimistic planner** (*m* = *mc*, *n*<sup>∗</sup> = *<sup>m</sup><sup>c</sup> <sup>n</sup><sup>p</sup>* , *<sup>n</sup>*∗∗ = *<sup>n</sup>p*, *<sup>ε</sup>* = 0)

E*t*Ξ*k*−*R*−*<sup>p</sup> <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>=</sup> <sup>E</sup>*<sup>t</sup> ςk t*+1 1 − *f*(Φ*t*,*εt*) *np t*+1 *mc t*+1 1 + *εt*+<sup>1</sup> + [1 − *γ* + *γϑt*+1] *mc t*+1 *np t*+1 Φ*t* = E*tς<sup>k</sup> <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> − *f*(Φ*t*,*εt*) E*t np t*+1 *mc t*+1 *ςk <sup>t</sup>*+1(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>ε</sup>t*+1) + <sup>Φ</sup>*t*E*t*(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *γϑt*+1)*ς<sup>k</sup> t*+1 ≤ 1 − *f*(Φ*t*,*εt*) E*tn<sup>p</sup> t*+1 E*tm<sup>c</sup> t*+1 E*tς<sup>k</sup> <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> <sup>Φ</sup>*t*(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*E*tϑt*+1)E*tς<sup>k</sup> t*+1 − *f*(Φ*t*,*εt*) *γ*Φ*tcov*(*ς<sup>k</sup>* , *ϑ*) + *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *np <sup>m</sup><sup>c</sup>* ) + *cov*( <sup>1</sup> *<sup>m</sup><sup>c</sup>* , *<sup>n</sup>p*) <sup>−</sup> (<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>ε</sup>t*)*cov*(*ς<sup>k</sup>* , *np*) = 1 − *f*(Φ*t*,*εt*) <sup>1</sup> <sup>+</sup> <sup>Φ</sup>*t*(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*(E*tϑt*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *<sup>ϑ</sup>*)) − *f*(Φ*t*,*εt*) *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *np <sup>m</sup><sup>c</sup>* ) + *cov*( <sup>1</sup> *<sup>m</sup><sup>c</sup>* , *<sup>n</sup>p*) <sup>−</sup> (<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>ε</sup>t*)*cov*(*ς<sup>k</sup>* , *np*) .

Adding and subtracting

$$f(\Phi\_t, 0) \left[ 1 + \Phi\_t \left( 1 - \gamma + \gamma \left[ \mathbb{E}\_t \theta\_{t+1} + \text{cov}(\boldsymbol{\varsigma}^k, \boldsymbol{\theta}) \right] \right) \right] \zeta$$

leads to

$$\begin{split} \mathbb{E}\_{t}\Sigma\_{t+1}^{k-R-p} &\leq \ & \mathbb{E}\_{t}\Sigma\_{t+1}^{k-RE} - f(\Phi\_{t},\varepsilon\_{t})f(\Phi\_{t},0) \left[1+\Phi\_{t}\left(1-\gamma+\gamma\left[\mathbb{E}\_{t}\theta\_{t+1}+\operatorname{cov}(\boldsymbol{\xi}^{k},\boldsymbol{\theta})\right]\right)\right] \varepsilon\_{t} \\ & \quad - \ f(\Phi\_{t},\varepsilon\_{t}) \left[\operatorname{cov}(\boldsymbol{\xi}^{k},\frac{n^{p}}{m^{\prime}})+\operatorname{cov}(\frac{1}{m^{\prime}},n^{p})+(1+\varepsilon\_{t})\operatorname{cov}(\boldsymbol{\xi}^{k},n^{p})\right] \overset{\leftharpoonup}{\geqslant} 0, \ \Phi\_{t} > 0 \\ & = & \left[\operatorname{cov}(\boldsymbol{\xi}^{k},\frac{n^{p}}{m^{\prime}})+\operatorname{cov}(\frac{1}{m^{\prime}},n^{p})+(1+\varepsilon\_{t})\operatorname{cov}(\boldsymbol{\xi}^{k},n^{p})\right] \overset{\leftharpoonup}{\geqslant} 0, \ \Phi\_{t} = 0, \end{split} \tag{A23}$$

where, from (75) and (77),

E*t ςk t*+1*n<sup>p</sup> t*+1 *mc t*+1 *εt*+<sup>1</sup> = *σcMc t* - E*tς<sup>k</sup> t*+1*n<sup>p</sup> <sup>t</sup>*+1*μt*+<sup>1</sup> <sup>−</sup> <sup>E</sup>*tς<sup>k</sup> t*+1*n<sup>p</sup> t*+1E*tm<sup>c</sup> <sup>t</sup>*+1*μt*+<sup>1</sup> + E*<sup>t</sup> ςk t*+1*n<sup>p</sup> t*+1 *mc t*+1 *εt* = *σ<sup>c</sup>* <sup>Φ</sup>*t*E*tn<sup>p</sup> t*+1*ς<sup>k</sup> <sup>t</sup>*+1E*t*[<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>m</sup><sup>c</sup> <sup>t</sup>*+1]*uc*,*t*+1*bt*+<sup>1</sup> + *σ<sup>c</sup>* <sup>Φ</sup>*t*[*cov*(*ςknp*, *buc*) <sup>−</sup> *cov*(*m<sup>c</sup>* , *buc*)] + [1 + *cov*(*ς<sup>k</sup>* , *np <sup>m</sup><sup>c</sup>* )]*ε<sup>t</sup>* = *σ<sup>c</sup>* Φ*t cov*(*ς<sup>k</sup>* , *buc*) <sup>−</sup> *cov*(*m<sup>c</sup>* , *buc*) + (1 + *εt*)*cov*(*ς<sup>k</sup>* , *np <sup>m</sup><sup>c</sup>* ) <sup>≥</sup> *<sup>ε</sup>t*.

#### **Notes**


$$\mathcal{U} = [(1 - \beta)\boldsymbol{\mu}\_t^{1 - \rho} + \beta(\mathbb{E}\_\mathbf{I} \mathcal{U}\_{t+1}^{1 - \gamma})^{\frac{1 - \rho}{1 - \gamma}}]^{\frac{1}{1 - \rho}}$$

where <sup>1</sup> *<sup>ρ</sup>* is the intertemporal elasticity of substitution. For *γ* > 0 and *ρ* = 1, this has the interpretation of a *risk-sensitive* recursion, such that in (6), *<sup>σ</sup><sup>c</sup>* <sup>≡</sup> (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>β</sup>*)(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*). With *<sup>γ</sup>* <sup>=</sup> *<sup>ρ</sup>*, preferences reduce to standard time-additive expected utility.


percentage points. Based on their model, they further show that temperature risk is associated with non-negligible welfare costs of 18.4% of the agent's lifetime utility that grow exponentially with the size of the impact of temperature on TFP.


$$\begin{array}{rcl} \mathbb{E}[a\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{y}] &=& a\mathbb{E}\boldsymbol{x}\mathbb{E}\boldsymbol{y} + a\boldsymbol{a}\boldsymbol{cov}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\\ \mathbb{E}[a\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{y}\times\boldsymbol{z}] &=& a\mathbb{E}\boldsymbol{x}\mathbb{E}\boldsymbol{y}\mathbb{E}\boldsymbol{z} + a\boldsymbol{a}\boldsymbol{cov}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\boldsymbol{z}) + a\mathbb{E}\boldsymbol{x}\boldsymbol{cov}(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}). \end{array}$$

<sup>41</sup> The derivation uses (77)

$$\begin{split} \mathbb{E}\_{l} \mathbb{E}\_{l+1}^{p} \Lambda\_{l+1} \varepsilon\_{l+1} &= & \sigma^{\varepsilon} \Phi\_{l} \mathbb{E}\_{l} [\boldsymbol{n}\_{l+1}^{p} \Lambda\_{l+1} \boldsymbol{u}\_{l+1}] [\mathbb{E}\_{l} \boldsymbol{m}\_{l+1}^{\varepsilon} \boldsymbol{b}\_{l+1} - \mathbb{E}\_{l} \boldsymbol{m}\_{l+1}^{\varepsilon} \mathbb{E}\_{l} \boldsymbol{m}\_{l+1}^{\varepsilon} \boldsymbol{b}\_{l+1}] + \mathbb{E}\_{l} \boldsymbol{n}\_{l+1}^{p} \Lambda\_{l+1} \boldsymbol{n}\_{l+1}^{\varepsilon} \varepsilon\_{l+1} \\ &+ & \sigma^{\varepsilon} \Phi\_{l} [\alpha \boldsymbol{\upsilon} (\boldsymbol{n}^{p} \boldsymbol{u}\_{\boldsymbol{\iota}} \Lambda\_{\boldsymbol{\upsilon}} \boldsymbol{m}^{\varepsilon} \boldsymbol{b}) - \alpha \boldsymbol{\upsilon} (\boldsymbol{n}^{p} \boldsymbol{u}\_{\boldsymbol{\iota}} \Lambda\_{\boldsymbol{\upsilon}} \boldsymbol{m}^{\varepsilon})] \\ &= & \sigma^{\varepsilon} \Phi\_{l} [\alpha \boldsymbol{\upsilon} (\boldsymbol{n}^{p} \boldsymbol{u}\_{\boldsymbol{\iota}} \Lambda\_{\boldsymbol{\upsilon}} \boldsymbol{m}^{\varepsilon} \boldsymbol{b}) - \alpha \boldsymbol{\upsilon} (\boldsymbol{n}^{p} \boldsymbol{u}\_{\boldsymbol{\iota}} \Lambda\_{\boldsymbol{\upsilon}} \boldsymbol{m}^{\varepsilon})] + [\Lambda\_{l}^{\ast} + \alpha \boldsymbol{\upsilon} (\boldsymbol{n}^{p} \boldsymbol{m}^{\varepsilon}, \Lambda)] \varepsilon\_{l} \\ & \quad \succ \varepsilon\_{l}. \end{split}$$

since, with the exception of marginal utility *uc*, *mc*, *np*, Λ, and *b* are positively related to *x* and therefore with each other. <sup>42</sup> By the law of iterated expectations <sup>E</sup>*t*E*t*+<sup>1</sup> ··· <sup>E</sup>*t*+*j*−1[Ξ*<sup>e</sup> t*+*j* ] = E*t*[Ξ*<sup>e</sup> t*+*j* ].

<sup>43</sup> Where called for, the proofs use the result that for any martingale process *m*, E*m* = 1, if

$$
\Phi\_{t+j} = m\_{t+j} \Phi\_{t+j-1\nu}
$$

then,

$$\mathbb{E}\_l \Phi\_{l+j} = \mathbb{E}\_l m\_{l+j} \Phi\_{l+j-1} = \mathbb{E}\_l \prod\_{l=1}^j \frac{M\_{l+l}}{M\_{l+l-1}} \Phi\_l = \mathbb{E}\_l \frac{M\_{l+j}}{M\_l} \Phi\_l = \frac{M\_l}{M\_l} \Phi\_l = \Phi\_l.$$

<sup>44</sup> Constancy of Φ follows from (71).


$$\begin{split} \mathbb{E}\_{l}\Phi\_{t+j} &= \quad \mathbb{E}\_{l}\frac{m\_{t+j}^{p}}{n\_{t+j}^{p}}\Phi\_{t+j-1} = \mathbb{E}\_{l}\left(\frac{m\_{t+j}^{p}}{m\_{t+j-1}^{p}} / \frac{N\_{t+j}^{p}}{N\_{t+j-1}^{p}}\right)\Phi\_{t+j-1} = \mathbb{E}\_{l}\prod\_{l=1}^{j}\left(\frac{m\_{t+j}^{p}}{m\_{t+l-1}^{p}} / \frac{N\_{t+l}^{p}}{N\_{t+l-1}^{p}}\right)\Phi\_{t+j} \\ &\geq \quad \left(\frac{\mathbb{E}\_{l}m\_{t+j}^{p}}{\mathbb{E}\_{l}N\_{t+j}^{p}} / \frac{m\_{t}^{p}}{N\_{t}^{p}}\right)\Phi\_{t} = \left(\frac{m\_{t}^{p}}{m\_{t}^{p}} / \frac{N\_{t}^{p}}{N\_{t}^{p}}\right)\Phi\_{t} = \Phi\_{t}, \end{split}$$

since, by the law of iterated expectations, <sup>E</sup>*tm<sup>p</sup> <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* <sup>=</sup> *<sup>m</sup><sup>p</sup> <sup>t</sup>* , and likewise for *<sup>N</sup><sup>p</sup> t* .

<sup>47</sup> In the following, I use

$$\begin{split} \mathbb{E}\_{l}\Phi\_{l+j} &= \quad \mathbb{E}\_{l}\frac{m\_{l+j}^{c}}{n\_{l+j}^{p}}\Phi\_{l+j-1} = \mathbb{E}\_{l}\left(\frac{m\_{l+j}^{c}}{m\_{l+j-1}^{c}} / \frac{N\_{l+j}^{p}}{N\_{l+j-1}^{p}}\right)\Phi\_{l+j-1} = \mathbb{E}\_{l}\prod\_{i=1}^{j}\left(\frac{m\_{l+i}^{c}}{m\_{l+i-1}^{c}} / \frac{N\_{l+i}^{p}}{N\_{l+i-1}^{p}}\right)\Phi\_{l+j} \\ &\geq \quad \left(\frac{\mathbb{E}\_{l}m\_{l+j}^{c}}{\mathbb{E}\_{l}N\_{l+j}^{p}} / \frac{m\_{l}^{c}}{N\_{l}^{p}}\right)\Phi\_{l} = \left(\frac{m\_{l}^{c}}{m\_{l}^{c}} / \frac{N\_{l}^{p}}{N\_{l}^{p}}\right)\Phi\_{l} = \Phi\_{l,r} \end{split}$$

since, by the law of iterated expectations, E*tm<sup>c</sup> <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* <sup>=</sup> *<sup>m</sup><sup>c</sup> <sup>t</sup>*, and likewise for *<sup>N</sup><sup>p</sup> t* .

#### **References**


Hansen, Lars Peter, and Thomas J. Sargent. 2012. Three types of ambiguity. *Journal of Monetary Economics* 59: 422–45. [CrossRef]

Hassler, John, Per Krusell, and Anthony Smith. 2016. Environmental Macroeconomics. In *Handbook of Macroeconomics*. Edited by John B. Taylor and Harald Uhlig. Amsterdam: Elsevier, pp. 1893–2008.


Nordhaus, William D. 2007. *Estimates of the Social Cost of Carbon: Background and Results from the Rice-2011 Model*. Technical Report 1826. Cowles Foundation Discussion Paper. New Haven and London: Yale University Press. [CrossRef]

Nordhaus, William D. 2008. *A Question of Balance: Weighting the Options on Global Warming Policies*. New Haven and London: Yale University Press. Available online: https://www.jstor.org/stable/j.ctt1npzkh (accessed on 28 September 2022).

Pascal, Blaise. 1670. *Pensees*. London: W F Trotter.

