**B. Heterogeneous beliefs**

	- (a) **Planner has no ambiguity about distorted private beliefs** *m<sup>s</sup>* (*n*<sup>∗</sup> = *m<sup>s</sup>* , *n*∗∗ = 1, *ε* = 0)

$$\begin{split} \boldsymbol{\alpha}\_{t}^{o} &= \quad f(\boldsymbol{\Phi}\_{t},0)\mathbb{E}\_{t}[\boldsymbol{\Lambda}\_{t+1}(1+[(1-\gamma)+\gamma\boldsymbol{\theta}\_{t+1}]\boldsymbol{m}\_{t+1}^{o}\boldsymbol{\Phi}\_{t})] \\ &= \quad f(\boldsymbol{\Phi}\_{t},0)\mathbb{E}\_{t}\boldsymbol{\Lambda}\_{t+1} + (1-\gamma)\boldsymbol{\Phi}\_{t}f(\boldsymbol{\Phi}\_{t},0)\mathbb{E}\_{t}\boldsymbol{\Lambda}\_{t+1} + \gamma\boldsymbol{\Phi}\_{t}f(\boldsymbol{\Phi}\_{t},0)\mathbb{E}\_{t}\boldsymbol{\Lambda}\_{t+1}\boldsymbol{\theta}\_{t+1} \\ &= \quad f(\boldsymbol{\Phi}\_{t},0)[(1+\boldsymbol{\Phi}\_{t}(1-\gamma+\gamma\boldsymbol{\Xi}\_{t}\boldsymbol{\theta}\_{t+1})\boldsymbol{\Lambda}\_{t}^{s} + \gamma\boldsymbol{\Phi}\_{t}\boldsymbol{\varepsilon}\boldsymbol{\upsilon}(\boldsymbol{\Lambda},\boldsymbol{\theta})] \\ &= \quad \boldsymbol{\alpha}\_{t}^{\mathrm{RE}}, \ \boldsymbol{\Phi}\_{t} > 0 \\ &= \quad \boldsymbol{\Lambda}\_{t}^{s}, \ \boldsymbol{\Phi}\_{t} = 0 \,\forall t. \end{split} \tag{A7}$$

(b) **Political planner** (*n*<sup>∗</sup> = 1; *n*∗∗ = *nPO*, *ε* = 0)

*<sup>t</sup>* = *f*(Φ¯ , 0)E*<sup>t</sup> nPO <sup>t</sup>*+1Λ*t*+1(<sup>1</sup> + [<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *γϑt*+1]Φ¯ ) <sup>=</sup> *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0)(<sup>1</sup> + (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ¯ )E*tnPO <sup>t</sup>*+1Λ*t*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*Φ¯ *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0)E*tnPO <sup>t</sup>*+1Λ*t*+1*ϑt*+<sup>1</sup> <sup>=</sup> *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0)[(<sup>1</sup> <sup>+</sup> <sup>Φ</sup>¯ [<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*E*tϑt*+1])Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>* + *γ*Φ¯ *cov*(Λ, *ϑ*)] + *f*(Φ¯ , 0)*cov*(*nPO*, Λ) + Φ¯ *f*(Φ¯ , 0) (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*nPO*, <sup>Λ</sup>) + *<sup>γ</sup>cov*(*nPO*, <sup>Λ</sup>*ϑ*) = *RE <sup>t</sup>* + Φ¯ *f*(Φ¯ , 0) (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*nPO*, <sup>Λ</sup>) + *<sup>γ</sup>cov*(*nPO*, <sup>Λ</sup>*ϑ*) <sup>+</sup> *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0)*cov*(*nPO*, <sup>Λ</sup>) <sup>≥</sup> *RE <sup>t</sup>* , <sup>Φ</sup>¯ <sup>&</sup>gt; 0, <sup>∀</sup>*<sup>t</sup>* = Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>* <sup>+</sup> *cov*(*nPO*, <sup>Λ</sup>) <sup>≥</sup> <sup>Λ</sup>*<sup>s</sup> <sup>t</sup>*, Φ¯ = 0. (A8) (c) **Paternalistic planner** (*n*<sup>∗</sup> = *nPA*, *n*∗∗ = 1, *ε* = 0) *<sup>t</sup>* = *f*(Φ*t*, 0)E*<sup>t</sup>* Λ*t*+<sup>1</sup> - <sup>1</sup> + [<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *γϑt*+1]*nPA <sup>t</sup>*+1Φ*<sup>t</sup>* = *f*(Φ*t*, 0)(Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>* + (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ*t*E*tnPA <sup>t</sup>*+1Λ*t*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*Φ*<sup>t</sup> <sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)E*tnPA <sup>t</sup>*+1Λ*t*+1*ϑt*+<sup>1</sup> <sup>=</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)[(<sup>1</sup> <sup>+</sup> <sup>Φ</sup>*t*[<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*E*tϑt*+1])Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>* + *γ*Φ*tcov*(Λ, *ϑ*)] + *f*(Φ*t*, 0)*cov*(*nPA*, Λ) + Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0) (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*nPA*, <sup>Λ</sup>) + *<sup>γ</sup>cov*(*nPA*, <sup>Λ</sup>*ϑ*) = *RE <sup>t</sup>* + Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0) (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*nPA*, <sup>Λ</sup>) + *<sup>γ</sup>cov*(*nPA*, <sup>Λ</sup>*ϑ*) <sup>≥</sup> *RE <sup>t</sup>* , Φ*<sup>t</sup>* > 0, ∀*t* = Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>*, Φ*<sup>t</sup>* = 0 ∀*t*. (A9)

$$\text{(d)}\qquad\text{Pessinistic plannner }(n^\* = \frac{m^p}{n^p}, n^{\*\*} = n^p, \text{ } \varepsilon = 0.$$

*<sup>t</sup>* = *f*(Φ*t*, 0)E*<sup>t</sup> np <sup>t</sup>*+1Λ*t*+<sup>1</sup> 1 + [1 − *γ* + *γϑt*+1] *mp t*+1 *np t*+1 Φ*t* = *f*(Φ*t*, 0)[Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>* <sup>+</sup> *cov*(*np*, <sup>Λ</sup>)] + (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ*<sup>t</sup> <sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)[Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>* + *cov*(*mp*, Λ)] + *γ*Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0)[Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>*E*tϑt*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *cov*(Λ, *<sup>ϑ</sup>*) + *cov*(*mp*, *<sup>ϑ</sup>*Λ)] <sup>=</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)[(<sup>1</sup> <sup>+</sup> <sup>Φ</sup>*t*[<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*E*tϑt*+1)])Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>* + *γ*Φ*tcov*(Λ, *ϑ*)) + *f*(Φ*t*, 0)*cov*(*np*, Λ) <sup>+</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)Φ*t*[(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*mp*, <sup>Λ</sup>) + *<sup>γ</sup>cov*(*mp*, *<sup>ϑ</sup>*Λ)]. = *RE <sup>t</sup>* <sup>+</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)[*cov*(*np*, <sup>Λ</sup>) + <sup>Φ</sup>*t*[(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*mp*, <sup>Λ</sup>) + *<sup>γ</sup>cov*(*mp*, *<sup>ϑ</sup>*Λ)], <sup>Φ</sup>*<sup>t</sup>* <sup>&</sup>gt; 0, <sup>∀</sup>*t*, = Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>* <sup>+</sup> *cov*(*np*, <sup>Λ</sup>) <sup>≥</sup> <sup>Λ</sup>*<sup>s</sup> <sup>t</sup>*, Φ*<sup>t</sup>* = 0, ∀*t*. (A10)
