2. **Pessimistic consumers**

(a) **Pessimistic planner** (*n*<sup>∗</sup> = *<sup>m</sup><sup>c</sup> <sup>n</sup><sup>p</sup>* , *<sup>n</sup>*∗∗ = *<sup>n</sup>p*, *<sup>ε</sup>* = 0)<sup>41</sup>

*<sup>t</sup>* = *f*(Φ*t*,*εt*)E*<sup>t</sup> np <sup>t</sup>*+1Λ*t*+<sup>1</sup> 1 + *εt*+<sup>1</sup> + [1 − *γ* + *γϑt*+1] *mc t*+1 *np t*+1 Φ*t* = *<sup>f</sup>*(Φ*t*,*εt*)[E*tn<sup>p</sup> <sup>t</sup>*+1Λ*t*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> <sup>E</sup>*tn<sup>p</sup> <sup>t</sup>*+1Λ*t*+1*εt*+1] <sup>+</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*,*εt*)[(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ*t*E*tm<sup>c</sup> <sup>t</sup>*+1Λ*t*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*Φ*t*E*tm<sup>c</sup> <sup>t</sup>*+1Λ*t*+1*ϑt*+1] <sup>≥</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*,*εt*)[Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>* + *cov*(*np*, Λ) + *εt*] + (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ*<sup>t</sup> <sup>f</sup>*(Φ*t*,*εt*)[Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>* + *cov*(*m<sup>c</sup>* , Λ)] + *γ*Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*,*εt*)[Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>*E*tϑt*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *cov*(Λ, *<sup>ϑ</sup>*) + *cov*(*m<sup>c</sup>* , *ϑ*Λ)] <sup>=</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*,*εt*)[(<sup>1</sup> <sup>+</sup> <sup>Φ</sup>*t*[<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*E*tϑt*+1])Λ*<sup>s</sup> <sup>t</sup>* + *γ*Φ*tcov*(Λ, *ϑ*)] + *f*(Φ*t*,*ε*)[*ε<sup>t</sup>* + *cov*(*np*, Λ)] <sup>+</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*,*εt*)Φ*t*[(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*m<sup>c</sup>* , Λ) + *γcov*(*m<sup>c</sup>* , *ϑ*Λ)].

Adding and subtracting

$$\boldsymbol{\phi}^{RE} = f(\Phi\_t, 0)[(1 + \Phi\_t[1 - \gamma + \gamma \mathbb{E}\_t \theta\_{t+1}])\Lambda\_t^s + \gamma \Phi\_t \circ \boldsymbol{\upsilon}(\Lambda, \boldsymbol{\vartheta})]\_{\boldsymbol{\tau}}$$

leads to,

$$\begin{array}{rlcl}\varphi\_{l} & \geq & \left[1 - f(\Phi\_{l}, \varepsilon\_{t})\varepsilon\_{t}\right] \boldsymbol{\sigma}\_{t}^{RE} + f(\Phi\_{l}, \varepsilon\_{t})[\varepsilon\_{t} + \operatorname{cov}(\boldsymbol{n}^{p}, \boldsymbol{\Lambda})] \\ & + & f(\Phi\_{l}, \varepsilon\_{t})\Phi\_{l}[(1 - \gamma)\operatorname{cov}(\boldsymbol{m}^{c}, \boldsymbol{\Lambda}) + \gamma \operatorname{cov}(\boldsymbol{m}^{c}, \boldsymbol{\theta}\boldsymbol{\Lambda})] \\ & \geq & \boldsymbol{\sigma}\_{t}^{RE}, \ \boldsymbol{\Phi}\_{l} > 0, \\ & \geq & \boldsymbol{\Lambda}\_{t}^{s} + \operatorname{cov}(\boldsymbol{n}^{p}, \boldsymbol{\Lambda}) > \boldsymbol{\Lambda}\_{t}^{s} \ \boldsymbol{\Phi}\_{l} = 0, \boldsymbol{\varepsilon}\_{t} = 0, \ \forall t. \end{array} \tag{A11}$$

#### **Appendix D. Sign of Carbon Tax Premium** *χ*

For the decompositions below, recall that the skeptic's belief multiplier *m<sup>s</sup>* is assumed to be an arbitrary, independent random variable, uncorrelated with anything, where E*tm<sup>s</sup> <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* = 1. This last property is shared by all martingale multipliers in this paper, so E*tnPO <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* <sup>=</sup> 1 and <sup>E</sup>*tnPA <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* = 1, as well. Where applicable, the derivations below apply Jensen's inequality to a convex function, such that, for all versions of *m* displayed in Table 1, E*<sup>t</sup>* <sup>1</sup> *mt*+<sup>1</sup> <sup>≥</sup> <sup>1</sup> <sup>E</sup>*tmt*+<sup>1</sup> <sup>=</sup> 1. Also used, where necessary, is the law of iterated expectations.42 From (100),

$$\mathbb{E}\_t \mathbb{E}\_{t+j}^{\varepsilon} = \mathbb{E}\_t \left[ \left( f(\Phi\_t, \varepsilon\_t) \frac{1}{m\_{t+j}} (1 + \varepsilon\_{t+j} + [1 - \gamma + \gamma \theta\_{t+j}] n\_{t+j}^\* \Phi\_{t+j-1}) - 1 \right) \xi\_{t+j}^{\varepsilon} \right],$$

where *<sup>ϑ</sup><sup>t</sup>* = *Ht*+*gt ct* , Φ*t*+*<sup>j</sup>* = *n*<sup>∗</sup> *t*+*j* Φ*t*+*j*−1, *n*<sup>∗</sup> is defined in Table 1, *f*(Φ*t*,*εt*) is defined as before, and *mt*+*<sup>j</sup>* = *m<sup>s</sup> <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* or *mt*+*<sup>j</sup>* = *<sup>m</sup><sup>c</sup> t*+*j* . 43

**A. Homogeneous beliefs**

**RE solution** (*m* = 1, *n*<sup>∗</sup> = 1, *ε* = 0, Φ*<sup>t</sup>* = Φ¯ , *ε* = 0)<sup>44</sup>

$$\begin{split} \mathbb{E}\_{t}\Xi\_{t+j}^{\varepsilon-RE} &= \mathbb{E}\_{t}\xi\_{t+j}^{\varepsilon} \left[ f(\Phi,0) \left( 1 + [1 - \gamma + \gamma \theta\_{t+j}] \Phi \right) - 1 \right] \\ &= \int (\Phi,0) \mathbb{E}\_{t}\xi\_{t+j}^{\varepsilon} \left[ 1 + (1 - \gamma)\Phi \right] + \gamma \Phi f(\Phi,0) \mathbb{E}\_{t}\xi\_{t+j}^{\varepsilon} \theta\_{t+j} - \mathbb{E}\_{t}\xi\_{t+j}^{\varepsilon} \\ &= \int (\Phi,0) \left[ 1 + \Phi(1 - \gamma + \gamma \mathbb{E}\_{t}\theta\_{t+1} + \gamma \circ \upsilon \nu(\xi^{\varepsilon}, \theta)) \right] - 1 \\ &= \|\Phi f(\Phi,0)\gamma\left[ \mathbb{E}\_{t}\theta\_{t+j} - \theta\_{t} + \operatorname{cov}(\zeta^{\varepsilon}, \theta) \right] > 0, \ \Phi > 0, \\ &= 0, \ \bar{\Phi} = 0 \ \forall t. \end{split} \tag{A12}$$

The preceding utilizes E*tς<sup>e</sup> <sup>t</sup>*+<sup>1</sup> = 1, and

$$\begin{aligned} \left[f(\Phi\_t, 0)\right]1 + (1 - \gamma + \gamma \mathbb{E}\_t \theta\_{t+j})\Phi\_t\big] - 1 &= \begin{aligned} \frac{1 + (1 - \gamma + \gamma \mathbb{E}\_t \theta\_{t+j})\Phi\_t}{1 + (1 - \gamma + \gamma \theta\_t)\Phi\_t} - 1 \\ &= \gamma \Phi\_t f(\Phi\_t, 0)(\mathbb{E}\_t \theta\_{t+j} - \theta\_t). \end{aligned} \end{aligned}$$

**B. Heterogeneous beliefs**

1. **Skeptical private sector**

$$\text{(a)}\qquad \text{No ambiguity } (m = m^\circ; n^\* = 1 \to \Phi\_t = \bar{\Phi}\_{t\prime} \varepsilon = 0)^{45}$$

E*t*Ξ*<sup>e</sup> <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* <sup>=</sup> <sup>E</sup>*tς<sup>e</sup> t*+*j f*(Φ¯ , 0) *ms t*+*j* <sup>1</sup> + [<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *γϑt*+*j*]Φ¯ − 1 = *f*(Φ¯ , 0)E*tς<sup>e</sup> t*+*j* 1 *ms t*+*j* [<sup>1</sup> + (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ¯ ] + *γ f*(Φ¯ , 0)E*tς<sup>e</sup> t*+*j* 1 *ms t*+*j <sup>ϑ</sup>t*+*j*Φ¯ <sup>−</sup> <sup>E</sup>*tς<sup>e</sup> t*+*j* <sup>≥</sup> *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0) <sup>1</sup> E*tm<sup>s</sup> t*+*j* E*t*[*ς<sup>e</sup> t*+*j* (<sup>1</sup> + (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)Φ¯ )] <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*Φ¯ *<sup>f</sup>*(Φ¯ , 0) <sup>1</sup> E*tm<sup>s</sup> t*+*j* - E*tς<sup>e</sup> t*+*j ϑt*+*<sup>j</sup>* + *cov*(*ς<sup>e</sup>* , *ϑ*) <sup>−</sup> <sup>E</sup>*tς<sup>e</sup>* = *f*(Φ¯ , 0) 1 + Φ¯ <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*[E*tϑt*+*<sup>j</sup>* <sup>+</sup> *cov*(*ς<sup>e</sup>* , *<sup>ϑ</sup>*)] <sup>−</sup> <sup>1</sup> = *γ*Φ¯ *f*(Φ¯ , 0) <sup>E</sup>*tϑt*+*<sup>j</sup>* <sup>−</sup> *<sup>ϑ</sup><sup>t</sup>* <sup>+</sup> *cov*(*ς<sup>e</sup>* , *ϑ*) > 0 = E*t*Ξ*e*−*RE <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* <sup>&</sup>gt; 0, <sup>Φ</sup>¯ <sup>&</sup>gt; 0, <sup>=</sup> 0, <sup>Φ</sup>¯ <sup>=</sup> 0, <sup>∀</sup>*t*. (A13)

(b) **Political planner** (*m* = *m<sup>s</sup>* , *n*∗ = 1, *ε* = 0).

$$\begin{split} \mathbb{E}\_{t} \mathbb{E}\_{t+j}^{\varepsilon-\text{PO}} &= \quad \mathbb{E}\_{t} \mathbb{E}\_{t+j}^{\varepsilon} \left[ \frac{f(\Phi,0)}{m\_{t+j}^{s}} \left( 1 + [1 - \gamma + \gamma \Phi\_{t+j}] \Phi \right) - 1 \right] \\ &= \quad f(\Phi,0) \mathbb{E}\_{t} \frac{1}{m\_{t+j}^{s}} \mathbb{E}\_{t} \zeta\_{t+j}^{\varepsilon} [1 + (1 - \gamma) \Phi] \\ &\quad + \quad \gamma f(\Phi,0) \mathbb{E}\_{t} \frac{1}{m\_{t+j}^{s}} \zeta\_{t+j}^{\varepsilon} \theta\_{t+j} \Phi - \mathbb{E}\_{t} \zeta\_{t+j}^{\varepsilon} \\ &\geq \quad f(\Phi,0) \Big{(} 1 + \Phi(1 - \gamma + \gamma \big[ \mathbb{E}\_{t} \theta\_{t+j} + \text{cov}(\zeta^{\varepsilon}, \theta) \big]) \Big{)} - 1 \\ &= \quad \Phi f(\Phi,0) \gamma \Big{[} \mathbb{E}\_{t} \theta\_{t+j} - \vartheta\_{t} + \text{cov}(\zeta^{\varepsilon}, \theta) \big{]} > 0, \\ &= \quad \mathbb{E}\_{t} \mathbb{E}\_{t+j}^{\varepsilon - \text{RE}} \quad \Phi > 0, \\ &= \quad 0, \ \Phi = 0, \ \forall t. \end{split} \tag{A14}$$

(c) **Paternalistic planner** (*m* = *m<sup>s</sup>* , *n*<sup>∗</sup> = *nPA*; Φ*t*+*<sup>j</sup>* = *nPA t*+*j* Φ*t*+*j*−1, *ε* = 0)

E*t*Ξ*e*−*PA <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* <sup>=</sup> <sup>E</sup>*tς<sup>e</sup> t*+*j f*(Φ*t*, 0) *ms t*+*j* - <sup>1</sup> + [<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *γϑt*+*j*]*nPA t*+*j* Φ*t*+*j*−<sup>1</sup> − 1 = *f*(Φ*t*, 0)E*tς<sup>e</sup> t*+*j* 1 *ms t*+*j* [<sup>1</sup> + (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*nPA t*+*j* Φ*t*+*j*−1] + *γ f*(Φ*t*, 0)E*<sup>t</sup>* 1 *ms t*+*j ςe t*+*j ϑt*+*jnPA t*+*j* <sup>Φ</sup>*t*+*j*−<sup>1</sup> <sup>−</sup> <sup>E</sup>*tς<sup>e</sup> t*+*j* ≥ *f*(Φ*t*, 0) E*tς<sup>e</sup> t*+*j* E*tm<sup>s</sup> t*+*j* + (1 − *γ*)Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0) E*tς<sup>e</sup> t*+*j* E*tm<sup>s</sup> t*+*j* + *γ*Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0) E*tς<sup>e</sup> t*+*j* E*tm<sup>s</sup> t*+*j* E*tϑt*+*<sup>j</sup>* + *cov*(*nPA*, *<sup>ς</sup><sup>e</sup> ϑ*) + *cov*(*ς<sup>e</sup>* , *ϑ*) <sup>−</sup> <sup>E</sup>*tς<sup>e</sup> t*+*j* = *f*(Φ*t*, 0) 1 + Φ*<sup>t</sup>* <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*[E*tϑt*+*<sup>j</sup>* <sup>+</sup> *cov*(*ς<sup>e</sup>* , *<sup>ϑ</sup>*)] <sup>−</sup> <sup>1</sup> + *γ*Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0)*cov*(*nPA*, *ς<sup>e</sup> ϑ*) = E*t*Ξ*e*−*RE <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*Φ*<sup>t</sup> <sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)*cov*(*nPA*, *<sup>ς</sup><sup>e</sup> ϑ*) > 0, Φ*<sup>t</sup>* > 0, ≥ 0, Φ*<sup>t</sup>* = 0, ∀*t*. (A15)

$$\text{P(d)} \qquad \text{Pessinistic planar} \newline \text{( $m = m^s$ ,  $n^\* = \frac{m^p}{n^p}$ ;  $\Phi\_{t+j} = \frac{m^p\_{t+j}}{n^p\_{t+j}}\Phi\_{t+j-1}$  , \newline \text{ $\varepsilon = 0$ )} \newline \text{46.}$$

E*t*Ξ*<sup>e</sup> <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* <sup>=</sup> <sup>E</sup>*tς<sup>e</sup> t*+*j <sup>f</sup>*(Φ*t*, 0) <sup>1</sup> *ms t*+*j* 1 + [1 − *γ* + *γϑt*+*j*] *mp t*+1 *np t*+1 Φ*t*+*j*−<sup>1</sup> − 1 = *f*(Φ*t*, 0)E*<sup>t</sup> ς<sup>e</sup> t*+*j ms t*+*j* 1 + [1 − *γ* + *γϑt*+*j*] *mp t*+*j np t*+*j* Φ*t*+*j*−<sup>1</sup> − 1 = *f*(Φ*t*, 0) E*t ς<sup>e</sup> t*+*j ms t*+*j* + (1 − *γ*)Φ*<sup>t</sup>* E*t ςe t*+*j mp t*+*j ms t*+*j np t*+*j* + *γ*Φ*<sup>t</sup>* E*t ςe t*+*j <sup>ϑ</sup>t*+*jm<sup>p</sup> t*+*j ms t*+*j np t*+*j* − 1 <sup>≥</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*, 0)[<sup>1</sup> <sup>+</sup> <sup>Φ</sup>*t*(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*E*tϑt*+<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>cov*(*ς<sup>e</sup>* , *ϑ*))] − 1 + Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0)(1 − *γ*) *cov*(*mp*, <sup>1</sup> *<sup>n</sup><sup>p</sup>* ) + *cov*(*ς<sup>e</sup>* , *m<sup>p</sup> np* ) + Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0)*γ cov*(*ϑ*, *ς<sup>e</sup>* ) + *cov*(*mp*, <sup>1</sup> *<sup>n</sup><sup>p</sup>* ) + *cov*(*ς<sup>e</sup> ϑ*, *m<sup>p</sup> np* ) = E*t*Ξ*e*−*RE <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* + (1 − *γ*)Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0) *cov*(*mp*, <sup>1</sup> *<sup>n</sup><sup>p</sup>* ) + *cov*(*ς<sup>e</sup>* , *m<sup>p</sup> np* ) + *γ*Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*, 0) *cov*(*ϑ*, *ς<sup>e</sup>* ) + *cov*(*mp*, <sup>1</sup> *<sup>n</sup><sup>p</sup>* ) + *cov*(*ς<sup>e</sup> ϑ*, *m<sup>p</sup> np* ) 0 ; Φ*<sup>t</sup>* ≥ 0, = E*t*Ξ*e*−*RE <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* > 0, Φ*<sup>t</sup>* = 0. (A16)

#### 2. **Pessimistic consumers**

$$\text{(a)}\qquad \text{Pessinistic planar}\ (m = m^c, n^\* = \frac{m^c}{n^{\nu}}; \Phi\_{t+j} = \frac{m^c\_{t+j}}{n^{\nu}\_{t+j}}\Phi\_{t+j-1}, \varepsilon \neq 0)^{47}, j \in \mathbb{N}$$

E*t*Ξ*<sup>e</sup> <sup>t</sup>*+*<sup>j</sup>* <sup>=</sup> <sup>E</sup>*tς<sup>e</sup> t*+*j <sup>f</sup>*(Φ*t*,*εt*) <sup>1</sup> *mc t*+*j* 1 + *εt*+*<sup>j</sup>* + [1 − *γ* + *γϑt*+*j*] *mc t*+1 *np t*+1 Φ*t*+*j*−<sup>1</sup> − 1 = *f*(Φ*t*,*εt*)E*<sup>t</sup> ς<sup>e</sup> t*+*j mc t*+*j* 1 + *εt*+*<sup>j</sup>* + [1 − *γ* + *γϑt*+*j*] *mc t*+*j np t*+*j* Φ*t*+*j*−<sup>1</sup> − 1 ≥ *f*(Φ*t*,*εt*) E*tς<sup>e</sup> t*+*j* E*tm<sup>c</sup> t*+*j* + *ε<sup>t</sup>* + *cov*(*ς<sup>e</sup>* , 1 *mc* ) − 1 + (1 − *γ*)Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*,*εt*) E*tς<sup>e</sup> t*+*j* E*tn<sup>p</sup> t*+*j* + *cov*(*ς<sup>e</sup>* , 1 *np* ) + *γ*Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*,*εt*) E*tς<sup>e</sup> t*+*j ϑt*+*<sup>j</sup>* E*tn<sup>p</sup> t*+*j* + *cov*(*ς<sup>e</sup> <sup>ϑ</sup>*, <sup>1</sup> *np* ) = *f*(Φ*t*,*εt*) 1 + *ε<sup>t</sup>* + *cov*(*ς<sup>e</sup>* , 1 *mc* ) − 1 + (1 − *γ*)Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*,*εt*) 1 + *cov*(*ς<sup>e</sup>* , 1 *np* ) + *γ*Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*,*εt*) <sup>E</sup>*tϑt*+*<sup>j</sup>* <sup>+</sup> *cov*( <sup>1</sup> *<sup>n</sup><sup>p</sup>* , *<sup>ς</sup><sup>e</sup> ϑ*) + *cov*(*ς<sup>e</sup>* , *ϑ*) <sup>=</sup> *<sup>f</sup>*(Φ*t*,*εt*)[<sup>1</sup> <sup>+</sup> <sup>Φ</sup>*t*(<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>γ</sup>*(E*tϑt*+*<sup>j</sup>* <sup>+</sup> *cov*(*ς<sup>e</sup>* , *ϑ*)))] − 1 + *f*(Φ*t*,*εt*) *ε<sup>t</sup>* + *cov*(*ς<sup>e</sup>* , 1 *mc* ) + Φ*<sup>t</sup> f*(Φ*t*,*εt*) (<sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>γ</sup>*)*cov*(*ς<sup>e</sup>* , 1 *<sup>n</sup><sup>p</sup>* ) + *<sup>γ</sup>cov*(*ϑς<sup>e</sup>* , 1 *np* ) .

Adding and subtracting

$$f(\Phi\_t, 0)[1 + \Phi\_t(1 - \gamma + \gamma \mathbb{E}\_t \theta\_{t+1} + \gamma \circ \text{cov}(\mathfrak{g}^\varepsilon, \theta))],$$

leads to

$$\begin{aligned} \mathbb{E}\_{t}\mathbb{E}\_{t+j}^{\varepsilon} &= \quad \mathbb{E}\_{t}\mathbb{E}\_{t+j}^{\varepsilon-RE} - f(\Phi\_{t}, \varepsilon\_{t})f(\Phi\_{t}, 0)[1 + \Phi\_{t}(1 - \gamma + \gamma \mathbb{E}\_{t}\theta\_{t+1} + \gamma \text{cov}(\boldsymbol{\xi}^{\varepsilon}, \boldsymbol{\theta}))]\varepsilon\_{t} \\ &+ \quad f(\Phi\_{t}, \varepsilon\_{t})\left[\varepsilon\_{t} + \text{cov}(\boldsymbol{\xi}^{\varepsilon}, \frac{1}{n\varepsilon^{\prime}})\right] \\ &+ \quad \Phi\_{t}f(\Phi\_{t}, \varepsilon\_{t})\left[(1 - \gamma)\text{cov}(\boldsymbol{\xi}^{\varepsilon}, \frac{1}{n^{p}}) + \gamma \text{cov}(\theta\_{\xi}^{\varepsilon}, \frac{1}{n^{p}})\right] \overset{\leftharpoonup}{\geqslant} 0, \ \Phi\_{t} > 0, \ \forall t \\ &= \quad \text{cov}(\boldsymbol{\xi}^{\varepsilon}, \frac{1}{n^{\varepsilon}}) < 0, \ \Phi\_{t} = 0, \ \forall t \end{aligned} \tag{A17}$$

where, from (75) and (77),

$$\begin{split} \mathbb{E}\_{t} \frac{\varsigma^{\varepsilon}\_{t+1}}{m^{\varepsilon}\_{t+j}} \varepsilon\_{t+1} &=& \varrho^{\varepsilon} M^{\varepsilon}\_{t} (\mathbb{E}\_{t} \varsigma^{\varepsilon}\_{t+1} \mu\_{t+1} - \mathbb{E}\_{t} \varsigma^{\varepsilon}\_{t+1} \mathbb{E}\_{t} m^{\varepsilon}\_{t+1} \mu\_{t+1}) + \mathbb{E}\_{t} \frac{\varsigma^{\varepsilon}\_{t+1}}{m^{\varepsilon}\_{t+1}} \varepsilon\_{t} \\ &\geq \varrho^{\varepsilon} \Phi\_{t} \Big{[} \mathbb{E}\_{t} (1 - m^{\varepsilon}\_{t+1}) \mathbb{E}\_{t} u\_{\varepsilon, t+1} b\_{t+1} + \operatorname{cov}(\varsigma^{\varepsilon}, b u\_{\varepsilon}) - \operatorname{cov}(m^{\varepsilon}, b u\_{\varepsilon})] \\ &\quad + \ [1 + \operatorname{cov}(\varsigma^{\varepsilon}, \frac{1}{m^{\varepsilon}})] \varepsilon\_{t} \\ &=& \varrho^{\varepsilon} \Phi\_{t} [\operatorname{cov}(\varsigma^{\varepsilon}, b u\_{\varepsilon}) - \operatorname{cov}(m^{\varepsilon}, b u\_{\varepsilon})] + [1 + \operatorname{cov}(\varsigma^{\varepsilon}, \frac{1}{m^{\varepsilon}})] \varepsilon\_{t} \geq \varepsilon\_{t}. \end{split}$$

#### **Appendix E. Sign of Ex Ante Capital Tax**

This appendix evaluates the expression (112) for each of the four belief regimes,

$$\mathbb{E}\_t \Xi\_{t+1}^k = \mathbb{E}\_t \mathfrak{c}\_{t+1}^k \left( 1 - f(\Phi\_t, \varepsilon\_t) \frac{n\_{t+1}^{\*+}}{m\_{t+1}} (1 + \varepsilon\_{t+1} + [1 - \gamma + \gamma \theta\_{t+1}] n\_{t+1}^\* \Phi\_t) \right).$$

**A. Homogeneous beliefs RE solution** (*m* = 1, *n*∗ = 1, *n*∗∗ = 1, *ε* = 0)

$$\begin{split} \mathbb{E}\_{t} \mathbb{E}\_{t+1}^{k-RE} &= \quad \mathbb{E}\_{t} \Big[ \xi\_{t+1}^{k} (1 - f(\Phi\_{t}, 0) [1 + \Phi\_{t} [1 - \gamma + \gamma \theta\_{t+1}]]) \Big] \\ &= \quad \mathbb{E}\_{t} \xi\_{t+1}^{k} - f(\Phi\_{t}, 0) [1 + (1 - \gamma)\Phi\_{t}] \mathbb{E}\_{t} \xi\_{t+1}^{k} + \gamma \Phi\_{t} f(\Phi\_{t}, 0) \mathbb{E}\_{t} \Big[ \xi\_{t+1}^{k} \theta\_{t+1} \Big] \\ &= \quad 1 - f(\Phi\_{t}, 0) \Big[ 1 + \Phi\_{t} \Big( 1 - \gamma + \gamma \big[ \mathbb{E}\_{t} \theta\_{t+1} + \operatorname{cov}(\zeta\_{t}^{k}, \theta) \Big] \Big) \Big] \\ &= \quad - \gamma f(\Phi\_{t}, 0) \Phi\_{t} \Big[ \mathbb{E}\_{t} \theta\_{t+1} - \theta\_{t} + \operatorname{cov}(\zeta\_{t}^{k}, \theta) \Big] < 0, \ \Phi\_{t} > 0, \ \forall t, \\ &= \quad 0, \ \Phi\_{t} = 0 \ \forall t. \end{split} \tag{A18}$$
