**Theorem 2.** *If R*<sup>0</sup> < 1*, then point K*<sup>0</sup> *is globally asymptotically stable, and otherwise unstable.*

**Proof.** Considering the Lyapunov function mentioned below,

$$L(I, M, \mathcal{U}\_I) = I + \frac{\beta\_1}{2^{33} \rho} M^2 + \frac{\beta\_2}{r\_2} \mathcal{U}\_I. \tag{32}$$

The function in *R*<sup>3</sup> is positive, for *R*<sup>3</sup> = (*I*, *M*, *U I*) and (*I* > 0, *M* > 0, *U I* > 0). For *α* = 1, the derivative of Lyapunov function (32) is

$$D^{a}L(I,M,\mathcal{U}\_{I}) = D^{a}I + \frac{2\beta\_{1}}{2^{33}\rho}MD^{a}M + \frac{\beta\_{2}}{r\_{2}}D^{a}\mathcal{U}\_{I} \tag{33}$$

*<sup>D</sup>αL*(*I*, *<sup>M</sup>*, *UI*) = *<sup>β</sup>*1(*N*<sup>∗</sup> <sup>−</sup> *<sup>I</sup>* <sup>−</sup> *<sup>M</sup>*)*<sup>I</sup>* <sup>2</sup><sup>32</sup> <sup>+</sup> *<sup>β</sup>*2(*N*<sup>∗</sup> <sup>−</sup> *<sup>I</sup>* <sup>−</sup> *<sup>M</sup>*)*UI <sup>N</sup>*<sup>∗</sup> <sup>−</sup> *<sup>ρ</sup><sup>I</sup>* <sup>−</sup> *<sup>r</sup>*<sup>1</sup> *<sup>I</sup>* <sup>+</sup> *<sup>β</sup>*1*MI* <sup>2</sup><sup>32</sup> <sup>+</sup> *<sup>r</sup>*1*β*1*M*<sup>2</sup> 232*ρ* <sup>+</sup> *<sup>β</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup>*U*<sup>∗</sup> *I N*∗*r*<sup>2</sup> <sup>−</sup> *<sup>β</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup>*U*<sup>1</sup> *I N*∗*r*<sup>2</sup> − *β*2*U*1, = *β*1*N*∗ <sup>2</sup><sup>32</sup> <sup>+</sup> *<sup>β</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup>*U*<sup>∗</sup> *N*∗*r*<sup>2</sup> − *ρ* − *r*<sup>1</sup> *<sup>I</sup>* <sup>−</sup> *<sup>β</sup>*<sup>1</sup> *<sup>I</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup><sup>32</sup> <sup>−</sup> *<sup>β</sup>*2(*<sup>M</sup>* <sup>+</sup> *<sup>I</sup>*)*UI <sup>N</sup>*<sup>∗</sup> <sup>−</sup> *<sup>r</sup>*1*β*1*M*<sup>2</sup> 232*ρ* <sup>−</sup> *<sup>β</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup>*M*<sup>2</sup>*UI I N*∗*r*<sup>2</sup> , = (*ρ* + *r*1) *β*1*N*<sup>∗</sup> <sup>2</sup>32(*ρ*+*r*1) <sup>+</sup> *<sup>β</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup>*U*<sup>∗</sup> *N*∗*r*2(*ρ*+*r*1) −*ρ* − *r*<sup>1</sup> *<sup>I</sup>* <sup>−</sup> *<sup>β</sup>*<sup>1</sup> *<sup>I</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup><sup>32</sup> <sup>−</sup> *<sup>β</sup>*2(*<sup>M</sup>* <sup>+</sup> *<sup>I</sup>*)*UI <sup>N</sup>*<sup>∗</sup> <sup>−</sup> *<sup>r</sup>*1*β*1*M*<sup>2</sup> 232*ρ* <sup>−</sup> *<sup>β</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup>*M*<sup>2</sup>*UI I N*∗*r*<sup>2</sup> , = (*<sup>ρ</sup>* <sup>+</sup> *<sup>r</sup>*1)(*R*<sup>0</sup> <sup>−</sup> <sup>1</sup>)*<sup>I</sup>* <sup>−</sup> *<sup>β</sup>*<sup>1</sup> *<sup>I</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup><sup>32</sup> <sup>−</sup> *<sup>β</sup>*2(*<sup>M</sup>* <sup>+</sup> *<sup>I</sup>*)*UI <sup>N</sup>*<sup>∗</sup> <sup>−</sup> *<sup>r</sup>*1*β*1*M*<sup>2</sup> <sup>2</sup>32*<sup>ρ</sup>* <sup>−</sup> *<sup>β</sup>*<sup>2</sup> <sup>2</sup>*UI I N*∗*r*<sup>2</sup> . (34)

For *<sup>R</sup>*<sup>0</sup> <sup>&</sup>lt; 1, this implies that *<sup>D</sup>α<sup>L</sup>* <sup>≤</sup> 0 and *<sup>K</sup>*<sup>0</sup> is the only invariant set of system (21). According to the LaSalle Invariance Principle, *K*<sup>0</sup> is proven to be globally asymptotically stable. Hence, equilibrium point *K*<sup>0</sup> is globally asymptotically stable for *R*<sup>0</sup> < 1. Additionally, if the system is stable for the value of *α* = 1, then the system will be stable for *α* < 1, as described in [52].
